leetcode笔记：Unique Paths

一. 题目描述

A robot is located at the top-left corner of a m  n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).
The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ’Finish’ in the diagram below).
How many possible unique paths are there?

Above is a 3 * 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

二. 题目分析

题目的大意是机器人在一个矩阵里走路，规定起点、终点和走路的方向，问走完全程总共有几种走法。该题首先想到用深度优先搜索来做，但是结果是超时。可使用动态规划来做，设状态为k[i][j]，表示从起点(0, 0)到达(i, j)的路线条数，则状态转移方程为：

k[i][j]=k[i-1][j]+k[i][j-1]

使用动态规划时，需注意边界条件的设定。

以下代码使用new创建一维数组（数组大小为m * n）并将其作为二维数组使用，第i行、j列的元素可表示为：k[i * n + j] ，这样创建二维数组的好处是内存连续，但表示不够直观。

三. 示例代码

#include <iostream>

using namespace std;

class Solution

{
public:
    // 深搜，会超时
    int uniquePaths(int m, int n)
    {
        if (m <= 0 || n <= 0)
            return 0;

        if (m == 1 || n == 1)
            return 1;

        return uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1);
    }

    // 动态规划
    int uniquePaths2(int m, int n) // 动态规划
    {
        int *k = new int[m * n];

        // 到两条边处各点的走法只有一种
        for (int i = 0; i < m; ++i)
            k[i * n] = 1;
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            k[j] = 1;

        for (int i = 1; i < m; ++i)
        {
            for (int j = 1; j < n; ++j)
            {
                k[i * n + j] = k[(i - 1) * n + j] + k[i * n + j - 1];
            }
        }

        int result = k[(m - 1) * n + n - 1];
        delete [] k;
        return result;
    }
};

四. 小结

事实上，如果只是求出路线的种数，完全可以将该问题转化为数学问题。假设一个m行n列的矩阵，机器人从左上走到右下总共需要的步数是m + n - 2，其中向下走的步数是m - 1，因此问题变成了在m + n - 2个操作中，选择m – 1个时间点向下走，选择方式有多少种，可用以下公式算出：

若考虑向右走的情况，则步数为n - 1，问题也可解释为在m + n - 2个操作中，选择n – 1个时间点向右走的方法有多少种，公式：