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我们考虑一个$N\times M$的矩阵数据，若要对矩阵中的部分数据进行读取，比如求某个$a\times b$的子矩阵的元素和，通常我们可以想到$O(ab)$的遍历那个子矩阵，对它的各个元素进行求和。然而当$a$或$b$很大的时候，这样的计算显得太慢，如果要求子矩阵的最大元素和（如Ural 1146），更是简直慢到不能忍。
于是就想，能不能在读入数据的同时，我就先进行一些预处理，使得到后面进行计算的时候，可以简化一些步骤呢？答案是可以的。
通常对矩阵有两种预处理：
一种是把矩阵拍扁，即把前一列或前一行加到后一列或后一行上：
按列压缩↑，紫色部分和=棕色部分和-橙色部分和
按行压缩↑，紫色部分和=棕色部分和-橙色部分和
开一个二维数组存放矩阵，第$0$行和第$0$列全都置$0$，我们真正的矩阵在数组中下标从$1$开始。
以按行压缩为例，读入当前元素$t=A_{ij}$后，我们令$B_{ij}=A_{ij}+B_{i-1,j}$，以此类推，当所有数据读入后，预处理即完成，$B_{ij}$表示对于矩阵$A$的第$j$列，从第$1$行到第$i$行的和。这样我们若想要知道矩阵$A$第$j$列上，从第$p$行到第$q$行的和，直接用$B_{qj}-B_{p-1,j}, (p<=q)$一步求出，而不需要进行$q-p+1$步计算，那么从左上角$A_{ab}$到右下角$A_{ij}$的子矩阵元素和为\$sum=\sum_{p=a}^{i}\sum_{q=b}^{j}A_{pq}=\sum_{q=b}^{j}B_{iq}-\sum_{q=b}^{j}B_{a-1,q}\$，大大减少了计算量，降低了时间复杂度。
读入预处理↑，右图紫色块=4+24+30-18=40
计算区域和↑，紫色区域和=60-12-15+3=36
而另一种则是压缩到一个元素上，用$B_{ij}$表示从最左上角元素$A_{11}$到元素$A_{ij}$的和$\sum_{p=1}^{i}\sum_{q=1}^{j}A_{ij}, (i \geq 1, j \geq 1)$，为了保持这一性质，我们在读入当前元素$t=A_{ij}$后，令$B_{ij}=A_{ij}+B_{i,j-1}+B_{i-1,j}-B_{i-1,j-1}$。当所有数据读入后，预处理即完成。我们若想要求出从左上角$A_{ab}$到右下角$A_{ij}$的子矩阵元素和，只需三步计算即可：sum=$\sum_{p=a}^{i}\sum_{q=b}^{j}A_{pq}$=$B_{ij}-B_{i,b-1}-B_{a-1,j}+B_{a-1,b-1}$，使时间复杂度降低到常数。
ACM 中 矩阵数据的预处理
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原文地址：http://www.cnblogs.com/BlackStorm/p/4922207.html
