leetcode笔记：Minimum Path Sum

一. 题目描述

Given a m  n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time

二. 题目分析

题目的大意是，给定一个m*n 的网格，每个格子里有一个非负整数，找到一条从左上角到右下角的路径，使其经过的格子数值之和最小，每一步只能向右或向下走。

动态规划，可以使用一个m*n的矩阵来存储到达每个位置的最小路径和。每个位置的最小路径和应该等于自身的值加上左侧或者上面两者中的极小值。这样很容易写出状态转移公式：

f[i][j] = min(f[i-1][j], f[i][j-1]) + grid[i][j]

三. 示例代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int> > &grid) 
    {
        if (grid.size() == 0) return 0;
        const int m = grid.size();
        const int n = grid[0].size();
        int f[m][n];
        f[0][0] = grid[0][0];
        for (int i = 1; i < m; i++) 
            f[i][0] = f[i - 1][0] + grid[i][0];

        for (int i = 1; i < n; i++) 
            f[0][i] = f[0][i - 1] + grid[0][i];

        for (int i = 1; i < m; i++)
        {
            for (int j = 1; j < n; j++) 
            {
                f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return f[m - 1][n - 1];
    }
};

四. 小结

这是一道典型的动态规划题，使用动态规划求解问题，最重要的就是确定动态规划三要素：问题的阶段、每个阶段的状态以及求出从前一个阶段转化到后一个阶段之间的状态转移公式，当然该题也可以使用递推来完成，不过效率可能就没有动规高。