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按位取反 补码

时间:2015-11-09 15:27:53      阅读:196      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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按位取反再加一(补码)

 按位取反再加1是一个互逆运算。a取反加一,再取反加一,还等于a 

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在计算机中,减法可以用加法来代替,用的就是补码。说道补码,就得说道“模”这个概念。假如我有一个计算机,它只有四个bit,这四个bit所能表示的值的范围用二进制表示是0000到1111,即从0到15。这样,这个计算机就只能表示这16个数,别的东西它就无法表示了。这个16就是这个计算机的“模”,在这个计算机上进行的计算只能在“模”的表示范围之内。

如果我们要计算5-3的值,我们既可以用5减去3,也可以用5加上13。这是为什么呢?这就像我们的钟表,它从1点走到12点之后,又回到了1点。我们的计算机也是,从0走到15之后,再往下走就又回到了0,就像我们转了一个圈一样。我们从5这个位置往回退3个格,就完成了5-3这个计算。我们也可以从5这个位置往前走,一直走到15,这时我们走了10个格,然后我们继续往前走,走到0,然后到1,然后就走到了2。这样,我们往前走了13个格之后,也到了2这个位置。所以说,在我们这个计算机中,减3和加13是一样的。而3+13=16,我们说在模16的系统下,3和13是互补的。

这样,我们计算5-3就可以换成5+13。3的二进制表示为0011,5的二进制表示为0101。这样,0101-0011就可以表示为0101+(-0011)。我们在计算机中都是把负数用其补码表示,-0011的补码就是10000-0011(即16-3,也就是13)。10000-0011=1+1111-0011=1+(1111-0011)=1+1100=1101。我们总说补码是“按位取反再加一”,看了上面这个式子相信大家就会明白了,其实就是把10000-0011换成了1111-0011再加1的形式。然后,0101-0011就换成了0101+1101,它们计算出来的结果为10010。由于我们的计算机只有四个bit,所以结果为0010。即,在模16的计算机中,5-3=5+13=2。

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先看正码表示,设N=4, -1 = 1001; -2 = 1010, -1 > -2, 但是 1001 < 1010,两种映射的编码的序性不一致

 

反码呢,-1=1110, -2 = 1101,  Ok,序性正确了,

 

然而,这里有一个问题,就是正数与负数之间,有一个1的缝隙。-1=1110, 1=0001,从循环编码的角度,这两个编码相差3:1110->1111->0000->0001。

 

因为正零和负零是两个数,导致两个数系的断裂。怎么办?让负数整体往正数靠拢,迈进一步(+1),负1没有了。

 

这就是求补的过程了。反码再加1。 

 

我想,当初写出计算机的编码设计论文的大牛(好像是图灵还是什么的),当然有更深的考虑。但从序性和数系联系的角度,补码的发明是相当合理的。而这种合理性,我个人认为,正是其优点。

 

 从机器实现的角度,并不算复杂,但相对反码的机器实现,还是多了+1的进位延时。
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任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;

这个假设a为正数,那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法,我们可以把a表示为:a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2),第(n-1)位为符号位不计算在内。

这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0,而且这里设a的二进制位数为n位,即其模为2^(n-1),而2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2),而式子:-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中,2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)两式,2^(n-1)-a=(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1,所以1-k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反,而为什么要加1,追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中,还有-2^(n-1)这项未解释,这项就是补码里首位的1,首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1),这正是n位二进制的模。

不能贴公式,所以看起来很麻烦,如果写成代数式子看起来是很方便的。

注:n位二进制,最高位为符号位,因此表示的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1,所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位,表示的数值范围为0——2^8-1。    

 

 

 

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原文地址:http://www.cnblogs.com/crhdyl/p/4949768.html

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