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按位取反再加一（补码）
按位取反再加1是一个互逆运算。a取反加一，再取反加一，还等于a
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在计算机中，减法可以用加法来代替，用的就是补码。说道补码，就得说道“模”这个概念。假如我有一个计算机，它只有四个bit，这四个bit所能表示的值的范围用二进制表示是0000到1111，即从0到15。这样，这个计算机就只能表示这16个数，别的东西它就无法表示了。这个16就是这个计算机的“模”，在这个计算机上进行的计算只能在“模”的表示范围之内。
如果我们要计算5-3的值，我们既可以用5减去3，也可以用5加上13。这是为什么呢？这就像我们的钟表，它从1点走到12点之后，又回到了1点。我们的计算机也是，从0走到15之后，再往下走就又回到了0，就像我们转了一个圈一样。我们从5这个位置往回退3个格，就完成了5-3这个计算。我们也可以从5这个位置往前走，一直走到15，这时我们走了10个格，然后我们继续往前走，走到0，然后到1，然后就走到了2。这样，我们往前走了13个格之后，也到了2这个位置。所以说，在我们这个计算机中，减3和加13是一样的。而3+13=16，我们说在模16的系统下，3和13是互补的。
这样，我们计算5-3就可以换成5+13。3的二进制表示为0011，5的二进制表示为0101。这样，0101-0011就可以表示为0101+（-0011）。我们在计算机中都是把负数用其补码表示，-0011的补码就是10000-0011（即16-3，也就是13）。10000-0011=1+1111-0011=1+（1111-0011）=1+1100=1101。我们总说补码是“按位取反再加一”，看了上面这个式子相信大家就会明白了，其实就是把10000-0011换成了1111-0011再加1的形式。然后，0101-0011就换成了0101+1101，它们计算出来的结果为10010。由于我们的计算机只有四个bit，所以结果为0010。即，在模16的计算机中，5-3=5+13=2。
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任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;
这个假设a为正数，那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法，我们可以把a表示为：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2），第（n-1）位为符号位不计算在内。
这里k0,k1,k2,k(n-2）是1或者0，而且这里设a的二进制位数为n位，即其模为2^(n-1），而2^(n-1）其二项展开是：1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2），而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2）和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2）两式，2^(n-1)-a=(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1，而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反，而为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1）的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1）这项未解释，这项就是补码里首位的1，首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1），这正是n位二进制的模。
不能贴公式，所以看起来很麻烦，如果写成代数式子看起来是很方便的。
注：n位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1，所以模为2^(n-1）。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位，表示的数值范围为0——2^8-1。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/crhdyl/p/4949768.html
