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Page 9: 含 $\om$ 的 $\calF$ 原子的性质
对 $\forall\ \om\in\Om$, 令 $$\bex \calF_\om=\sed{B\in\calF;\ \om\in B},\quad A(\om)=\cap_{B\in\calF_\om}B, \eex$$ 称 $A(\om)$ 为含 $\om$ 的 $\calF$ 原子, 它就是所有包含 $\om$ 的 $\calF$ 可测集的交 (未必是 $\calF$ 可测的), 且有以下两个性质:
(1). 设 $\om,\om‘\in \Om$, 则或者 $A(\om)=A(\om‘)$, 或者 $A(\om)\cap A(\om‘)=\vno$.
证明: 若 $A(\om)\cap A(\om‘)=\vno$, 则已证. 若 $A(\om)\cap A(\om‘)\neq \vno$, 则 $$\bex \cap_{B\in\calF_\om}B\cap_{B‘\in\calF_{\om‘}}B‘\neq \vno, \eex$$ 也即 $$\bee\label{Page 9:1} \forall\ B\in\calF_\om,\ B‘\in\calF_{\om‘},\ B\cap B‘\neq \vno. \eee$$ 若 $\exists\ B‘\in\calF_\om,\st \om \not\in B‘$, 则 $$\bex B\bs B‘\in \calF_\om,\quad B‘\in \calF_{\om‘}, \eex$$ 这与 \eqref{Page 9:1} 矛盾. 故 $$\bex \forall\ B‘\in\calF_{\om‘},\ \om\in B‘, \eex$$ $$\bex A(\om)\subset \cap_{B‘\in \calF_{\om‘}}B‘=A(\om‘). \eex$$ 同理, $A(\om‘)\subset A(\om)$. 因此, $A(\om)=A(\om‘)$.
(2). 设 $\calC$ 为生成 $\calF$ 的代数, 对 $\forall\ \om\in\Om$, 令 $$\bex \calC_\om=\sed{B\in \calC;\ \om\in B}, \eex$$ 则有 $$\bex A(\om)=\cap_{B\in \calC_\om}B. \eex$$ 特别, 若 $\calF$ 可分, 则每一个 $\calF$ 原子属于 $\calF$.
证明: 显然, $$\bex A(\om)\subset \cap_{B\in \calC_\om}B. \eex$$ 反之, 由单调性定理, $$\beex \bea \tilde \om\in \cap_{B\in \calC_\om}B &\ra \tilde \om\in B,\ \forall\ \om\in B\in \calC\\ &\ra \tilde \om\in B,\ \forall\ \om\in m(\calC)=\sigma(\calC)=\calF\\ &\ra \tilde \om\in A(\om). \eea \eeex$$
[测度论讲义严加安第二版习题参考解答]Page 9: 含 $\om$ 的 $\calF$ 原子的性质
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