动态规划分析总结——如何设计和实现动态规划算法

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进行算法设计的时候，时常有这样的体会：如果已经知道一道题目可以用动态规划求解，那么很容易找到相应的动态规划算法并实现；动态规划算法的难度不在于实现，而在于分析和设计—— 首先你得知道这道题目需要用动态规划来求解。本文，我们主要在分析动态规划在算法分析设计和实现中的应用，讲解动态规划的原理、设计和实现。在很多情况下，可能我们能直观地想到动态规划的算法；但是有些情况下动态规划算法却比较隐蔽，难以发现。本文，主要为你解答这个最大的疑惑：什么类型的问题可以使用动态规划算法？应该如何设计动态规划算法？

一、缓存与动态规划

分析：很显然，这道题的对应的数学表达式是F(n)=F(n-1) + F(n-2);其中F(1)=1, F(2)=2。很自然的状况是，采用递归函数来求解：

<pre name="code" class="cpp">int  solution(int n){
	if(n>0 && n<2) return n;
	return solution(n-1) + solution(n-2);
}

int dp[11];
int  solution(int n){
	if(n>0 && n<2) return n;
	if(dp[n]!=0) return dp[n];
	dp[n] = solution(n-1) + solution(n-2);
	return  dp[n];
}

int  solution(int n){
	int dp[n+1];
	dp[1]=1;dp[2]=2;
	for (i = 3; i <= n; ++i){
		dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2];
	}
	return  dp[n];
}

例二：01背包问题

有n个重量和价值分别为vector<int> weight, vector<int> value的物品；背包最大负重为W，求能用背包装下的物品的最大价值？

采用穷举法，必然需要能够举出所有状态，不重不漏；而如何穷举，方法多种多样,我们的任务是要穷举有n个元素组成的所有子集。而穷举的方法主要有两种—— 递增式（举出1～100之内的所有数字， 从1到100）；和分治式的穷举（例如举出n个元素的集合，包含两种—— 含有元素a和不含元素a的）。于是，我们基于穷举法得到背包问题的第一种算法—— 递归与分治。

int rec(int i, int j){//从i到n号物品，选择重量不大于j的物品的最大价值
	int res;
	if(i==n){
		res=0;
	} 
	else if(j< w[i]){
		res = rec(i+1, j);
	}
	else{
		res = max(rec(i+1, j), rec(i+1, j-w[i])+v[i]);
	}
	return res;
}

调用res(0, W), 即可得到结果. 时间复杂度O(2^n)；我们来分析一下递归调用的情况。

dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j-w[i]] + v[i]);//对应的计算表格如下和程序如下：
void solution(){
	fill(dp[n], dp[n]+W, 0);
	for (int i = n-1; i >= 0; --i){
		for (j = 0; j <= W; ++j){
			if(j < w[i]) dp[i][j] = dp[i+1][j];
			else dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+!][j-w[i]]+v[i]);
		}
	}
	return dp[0][W];
}

思考三：递归形式的多样化

思考四：我们是如何想到递归算法的？

我们还是来看上面的那个决策树，很明显，DP的本质就在于缓存。我们寻找DP结果的时候，往往是需要遍历这个树，从中找出最优解。但是有些情况下，我们需要寻找的不是最优解，而是可行解，这个时候往往使用DFS或者循环更为有效，后面，我们会给出例子。此时，我们仅仅需要记得，动态规划的第二个条件—— 最优子问题。

所以算法的设计思路不在于一下子就想到了某个问题可以使用DP算法，而在于先看能不能用穷举法，如果可以用问题可以分解，分治法+穷举可以解决；如果问题包含重叠字问题，并且是求解最优解，那么此时用动态规划。

动态规划分析总结——如何设计和实现动态规划算法

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原文地址：http://blog.csdn.net/trochiluses/article/details/37966729