标签：存储系统 性能 performance 磁盘 io
了解一个系统的性能通常是参考一些度量值（Metric），而如何计算出这些Metric就是我们要讨论的。Little Law（排队理论：利特儿法则）和Utilization Law是Performance Engineering（System Engineering的一部分）常用的法则，它们都是数学理论，因此可作为性能计算的理论依据。详细分析两个法则超出了我个人的知识范围，因此我将仅仅谈一下如何应用。
在这之前我有写过存储系统性能 - 带宽计算，其中就应用到了Little Law和Utilization Law，大家可以参考一下。
Little Law 是由Philip M.Morse在1954年提出，公式为L = λW，但当时并没有被证明，所以仅仅假设为正确，而一直被人们使用着，Philip希望读者能够提供这种关系所不适用的情况来推翻它。John Little在1961年证明了并没有一种情况不适用于Little Law，从而为Little Law的正确性提供了理论证明。
Little Law定义了（以超市为例）：在一个稳定的系统中，长时间观察到的平均顾客数量L = 长时间观察到的有效顾客到达速率λ * 平均每个顾客在系统中花费的时间W，即L = λW。本法则适用于任何系统，甚至是一个系统中的子系统，比如一家银行的客户队列。唯一的要求就是系统必须是稳定的，非抢占式的。
为了更好的理解Little Law，请考虑一家仅有一个柜台的小型超市，柜台每次只能服务一位顾客，并且假设所有人都会买东西，这个系统的工作流程可以化简为：入店 -> 浏览 -> 结账 -> 离开，这是一个稳定的系统。如果【顾客进入超市的速率 > 顾客离开超市的速率】，即Arrival rate > Exit rate，那么系统就会开始不稳定，因为等待的客户队列会逐渐变得无限长。
总结来说，在流量增加的情况下，为了保证系统稳定运行（保持一个可接受的队列长度，从而保证可接受的响应时间），即超市在任意时间点都能保证能够服务5位顾客的能力，根据Little Law法则，有两种方案：
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说了那么多都没提到性能，别急，如果我们把同样的例子应用到磁盘系统，即：
l 确保磁盘稳定运行所允许的最大请求数量 L
l I/O请求达到速率 λ
l 磁盘处理每一个I/O所花费的时间 W
因此，保证一块磁盘稳定运行所允许的最大I/O请求数量 L = I/O请求达到速率λ * 磁盘处理每一个I/O所花费的时间W，即L = λW；同理，对于一个I/O控制器，到达速率必须 < 服务速率，或者说服务时间必须 < 内部到达时间，否则I/O控制器的处理能力无法满足过量的I/O请求，必然会导致性能下降。
结合Utilization Law（不介绍了，直接应用，它可用于描述I/O控制器的利用率），公式为 U = λ * Rs
l U = I/O控制器的利用率
l Rs = 服务时间，即控制器处理一个I/O的平均时间，对于磁盘来说，服务时间 Rs = 寻道时间 + 旋转延迟 + 内部传输速率（数据从一个盘面上的单个磁道传输到Buffer的速率），所以通常是一个定值，由磁盘本身的物理特性决定。
l λ = 到达速率
Little Law + Utilization Law可以推导出如下公式（推导过程省略，直接用）
l 平均响应时间 R = Rs / (1-U)
l 平均队列长度 Nq = U^2 /(1-U)
有了如上这些公式，我们来考虑这样一个磁盘系统， λ = 100个/秒，Rs = 8ms，我们可以得到
l 磁盘利用率 U = Rs / Ra = 8/10 = 0.8或80%
l 响应时间R = Rs / (1-U) = 8/(1-0.8) = 40ms
l 平均队列长度Nq = U^2 / (1-U) = 0.8^2 / (1-0.8) = 3.2
l 一个请求在队列中的等待时间 = 【U * Rs】或【响应时间 – 服务时间】 = 40 – 8 = 32ms
若把控制器处理能力加倍，则服务时间和利用率都会减半，Rs = 4ms，U = 40%。此时，响应时间R可以大大降低；同理，如果处理能力减半，那么服务时间和利用率都会极大增加。这里有一个非常重要的概念，就是我们经常提到的，随着利用率增加到某一个点，如果继续上升，那么响应时间会呈指数形式增长，也就是说R和U并不是线性的关系，我们分析一下【响应时间R = Rs / (1-U)】来看看是为什么：
平均响应时间 R = Rs / (1-U)，Rs是定值，可见，当U = 1时，也就是控制器饱和时，【响应时间R】趋近于无穷大，这是一个极限的概念，
，当U趋向于1时，又Rs是常量，所以R趋向于无穷大。因此，处于100%利用率的控制器就是瓶颈所在，它会迫使I/O序列化（I/O serialization），即每个I/O都必须在队列中等待它前面的I/O被处理完毕之后才能得到服务。一旦队列无限加大（一般buffer会有控制机制阻止队列的无限增长，比如Fiber Channel BB Credit，TCP Window，Ethernet PAUSE等等），响应时间会急剧上升。
通常我们都认为当利用率达到70%以后，未来的继续增长会使得性能以指数形式下降，而不是线性的。为什么是非线性的，大家可以尝试画一下 R= Rs/ (1-U) 的函数图像，在U逐渐趋向于1时，R趋向于无穷大，垂直渐近线是 x = 1。不过我不明白70%是如何计算出来的，可能是求U在 [0,1)范围内的导数通过比较斜率变化率来判断的？事实上，当U取0.9，0.99，0.999,....,0.9999999时，你会发现R = 10Rs, 100Rs, 1000Rs,....,10000000Rs，R以指数形式增长。而U取0.1，0.11，0.111时，R的增加就缓慢很多。随着U的取值增加，R的上升趋势也会以非线性的方式呈上升趋势。70%可能是通过数学方式计算得到，也可能只是一个比较得来的经验值，擅长数学的朋友可以补充说明一下。
排队理论之性能分析 - Little Law & Utilization Law
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原文地址：http://blog.csdn.net/zhoucengchao/article/details/37974165
