数学基础知识

时间：2015-11-18 19:31:24 阅读：223 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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1 排列组合回顾：

排 列 数 ： A m n = n ! ( n ? m ) ! 排 列 的 总 的 个 数 每 次 排 列 个 数 的 全 排 列 = A m n A m m = 组 合 数

LCS求长度为五的字符串的子序列有多少个？

N = C 15 + C 25 + C 35 + C 45 + C 55 = A 1 5 A 1 1 + A 2 5 A 2 2 + A 3 5 A 3 3 + A 4 5 A 4 4 + A 5 5 A 5 5

根据初中的二次项展开定理：

(a + b) n = \sum r = 0 n C r n a n ? r b r (1 + x) n = C 0 n x 0 + C 1 n x 1 + C 2 n x 2 + . . . + C m n x m + . . . + C n n x n x = 1 时 ： N = 2 n ? 1 = C 1 n + C 2 n + . . . + C m n + . . . + C n n

2 幂级数

(1 + x) n 的 各 阶 导 数 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f f f f (x) (0) = 1 (x) (1) = n ? (1 + x) n ? 1 (x) (2) = n ? (n ? 1) ? (1 + x) n ? 2 . . . (x) (m) = n ? (n ? 1) ? (n ? 2) . . . (n ? m + 1) (1 + x) m ? 1

2.1 级数展开:

(1 + x) n (1 + x) n 对 于 n = 1 2 、 ? 1 2 的 情 况 : (1 + x) 1 2 (1 + x) ? 1 2 = = = = 1 + n ? x + n ? ( n ? 1 ) 2 ! x 2 + . . . + n ? ( n ? 1 ) . . . ( n ? m + 1 ) m ! x m + . . .; 当 x \in (? 1, 1) 时 候 ， 此 级 数 收 敛 于 (1 + x) n ① ， 在 区 间 的 端 点 处 ， 展 开 式 是 否 也 收 敛 到 (1 + x) n 这 个 函 数 要 看 n 的 数 值 而 定 。 C 0 n x 0 + C 1 n x 1 + C 2 n x 2 + . . . + C m n x m + . . . + C n n x n 当 n 为 正 整 数 时 候, 它 的 幂 级 数 展 开 式 就 是 x 的 n 次 多 项 式 ， 这 就 是 代 数 学 中 的 二 项 定 理 (证 明 请 直 接 写 出 级 数 展 开 式 和 二 项 展 开 式 做 对 比 ， 或 者 按 《 高 数 下 》 函 数 展 开 成 幂 级 数 P 220 证 明) ， 所 以 此 时 x 不 仅 在 端 点 ? 1, 1 处 成 立 ， 在 整 个 实 数 域 内 都 成 立 ， 因 为 它 就 直 接 等 于 (1 + x) n 。 1 + 1 2 x ? 1 2 ? 4 x 2 + 1 ? 3 2 ? 4 ? 6 x 3 ? 1 ? 3 ? 5 2 ? 4 ? 6 ? 8 x 4 + . . . .; (? 1 \leq x \leq 1) 1 ? 1 2 x + 1 2 ? 4 x 2 ? 1 ? 3 2 ? 4 ? 6 x 3 + 1 ? 3 ? 5 2 ? 4 ? 6 ? 8 x 4 + . . . .; (? 1 < x \leq 1)

上面说某级数收敛到函数f(x)，需要看清楚条件。
当(1+x)^n,n为正整数的时候，这个函数的幂级数展开就是它的二项展开所以可以有如下应用

当 x = 1 时 : (1 + x) n = 2 n = 1 + C 1 n + C 2 n + . . . + C m n + . . . + C n n = = > C 1 n + C 2 n + . . . + C m n + . . . + C n n = 2 n ? 1

但下列用法是错误的：
因为已知如下函数的幂级数展开：

1 1 ? x = 1 + x + x 2 + . . . + x n + . . .; (? 1 < x < 1)

所以

1 + 2 + 4 + 8 = 8 (1 8 + 2 8 + 4 8 ＋ １) = 8 (1 1 ? 1 2) = 16

注意，这里级数收敛的意思是：当n趋于无穷的时候，这个展开式的和收敛到函数

11?x。当n很小时，就可能离函数

11?x的值很远。而上面那个例子可以用，是因为n为正整数时，它的展开式恰好等于它的二项展开式，二项展开式就等于函二项式本身，所以上一个例子应该叫二项展开式的应用，更为合理。

2.2 其它重用的幂级数

s i n x = x ? x 3 3 ! + x 5 5 ! . . . + (? 1) n ? 1 x 2 n ? 1 ( 2 n ? 1 ) ! + . .; (? \infty < x < + \infty) c o s x = 1 ? x 2 2 ! + x 4 4 ! + . . . + (? 1) n x 2 n ? 1 ( 2 n ? 1 ) ! + . .; (? \infty < x < + \infty) e x = 1 + x + x 2 2 ! + . . . + x n n ! + . . .; (? 1 < x < 1)

3 数列求和

3.1 等比数列求和

S q S 相 减 ： (1 ? q) S 两 边 同 时 除 以 1 ? q, 即 得 ： S = = = = a + a q + a q 2 + a q 3 + . + a q n a q + a q 2 + a q 3 + . + a q n + a q (n + 1) a ? a q (n + 1) a [1 ? q (n + 1)] / (1 ? q)

3.2 等差数列求和

倒序相加:

S3S32S3S3Sn=====3+4+5+66+5+4+33?(3+6)frac3?(3+6)2n(a0+an)2

4 集合的容斥原理

说有三个集合A、B、C，若集合中元素个数用Card（集合名)表示，那么Card（A∪B∪C）怎么求？
方法很简单，就是Card（A∪B∪C=Card（A）＋Card（B）＋Card（C）－Card（A∩B）－Card（B∩C）－Card（A∩C）+Card（A∩B∩C）所谓的容斥原理，如下图