欧拉函数

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    欧拉函数φ(x)表示的是1~x之间有多少个数与n互质，公式为：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，其中p1, p2……pn为x的所有质因数，但是，这个东西怎么证明咧？想了两个晚上终于想出来了，网上的证明用上了中国剩余定理，虽然牛逼，但相信很多初中生会表示不理解，一下是我自己想出来的证明：
     先考虑x只有一个质因数a的情况，按通式算的话是 φ(x)=x(1-1/a)，这个很好理解，先构造一个集合P={1,2,3,4……x}，这之中与x不互质的数必定是a的倍数，总共有x/a个，把他们删去，剩下x-x/a，把x提取出来，就是x(1-1/a)。
     若x有多个质因数，那每次删去的时候就必须考虑重复删除的问题，比如当前删至pi，设M=p1Xp2Xp3X…Xpi-1，那就是要删去1~x中是pi的倍数而与M互质的数（也就是不是p1，p2，p3…pi-1的倍数的数），设为ti，因为ti是pi的倍数，所以再设ki=ti/pi，ki就变成了1~n/pi 间与M互质的数。那这些数应该有多少个呢？可以证明这些数在[1..n/pi]、[n/pi+1..2n/pi]……中是均匀分布的，那符合ki的数的个数就是当前未被删除的数的总数除以pi，设r为当前未被删除的数的个数，那经过此次删除后剩下的数的个数就是r-r/pi=r(1-1/pi)，又因为r=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pi-1)，所以本次删除后剩余数的个数为x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pi)，所以当把所有p1，p2，p3…pn，都进行删除后，剩下φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)。
     然后，如何证明上一段第三行中的数是均匀分布的呢？对于一个处于1~n/pi之间的数q，分为两种情况证明：
     ①若q已被删除，那它在其他区间对应的某一个数(也就是在1~n之间与q对于模n/pi同余的数) y=q+k(n/pi)（1≤k≤pi）， 因为q已被删除，所以存在w≠1为q与M的最大公因数，设q=w*z1，w也必定是n/pi的因数，设n/pi=w*z2，则k(n/pi)=w*k*z2，y=w*z1+w*k*z2=w*(z1+k*z2)，所以y是w的倍数，所以y已被删除。（这貌似是同余定理之一） 
     ②若q未被删除，那它在其他区间对应的某一个数y=q+k(n/pi)（1≤k≤pi），如果y已被删除，按①中的证明方法，q也应该已被删除，不合题设，所以y也未被删除。
     所以， 未被删除的数在[1..n/pi]、[n/pi+1..2n/pi]……中是均匀分布的。
     得证： φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)。
      以上证明如果有什么疏漏……233原谅我只是个SX
     最后提一下鄙人在集训时看到的一道题，简单地说就是：如何编程快速求出∑gcd(i,j)（1≤j<i≤n）？其中gcd(i,j)表示i和j的最小公因数。我们可以枚举gcd后的值s，然后就是要求满足gcd(i,j)=s的i和j的个数。因为gcd(i,j)=s，所以gcd(i/s,j/s)=1，又因为i/s≥j/s，那问题就变成了求1~i/s间与i/s互质的数的个数。程序如下（当年写的）：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n;
int p[10001],ans=0;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    if (p[i]==i)
    for (int j=i;j<=n;j+=i) p[j]=p[j]/i*(i-1);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=n/i;j++) ans+=p[j]*i;
    for (int i=1;i<=n;i++) ans-=i;
    printf("%d\n",ans);
}

另外，可以预处理出∑φ(i)，从而减少时间复杂度。

欧拉函数

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原文地址：http://www.cnblogs.com/Enceladus/p/4979094.html