莫比乌斯反演（转）

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一、莫比乌斯(Möbius)函数

　　对于每个正整数n(n ≥ 2)，设它的质因数分解式为：

　　根据这个式子定义n的莫比乌斯函数为：

　　也就是如果n有平方因子，则为0. 否则是-1的质因数个数次方。

　　举个简单的例子：6 = 2 × 3，所以；  9 = 3×3， 所以

　　【命题一】

　　对于正整数n有：

　　也就是n>2时，所有n的约数对应函数值之和为0.

　　证明：

　　n=1的时候是显然的。

　　n≥2时：

　　① 如果d中也含有平方因子，则其值为零。

　　② 设 ， 若d中不含平方因子，则必有.

　　所以有：

　　得证。

二、欧拉函数

　　欧拉函数φ(n)定义为，1~n中与n的最大公约数为1的数字的个数。例如 φ(5) = 4, φ(6) = 2

　　若p为质数，显然 φ(p) = p-1

　　若n=p^k， 则n的大于1的约数有p, 2p, 3p,...(p^k-1-2)p, (p^k-1-1)p共p^k-1个数。所以φ(n) = p^k-p^k-1

　　而且欧拉函数为积性函数(证明较为麻烦，略去)，即若m、n互质，有φ(m)φ(n) = φ(mn)

　　所以对于任意

　　或者写成这种形式：

　　莫比乌斯函数和欧拉函数的关系：

　　这个不是太难证明，自己在纸上演算一下就明白了。

三、莫比乌斯反演

　　若定义在正整数集上的两个函数，f(n)和g(n)满足对任意n有：

　　　　　　　　(1)

　　则可以通过f来表示g：

　　　　　　(2)

　　反之，亦可以由关系(2)得到(1)

　　证明：

　　由式(1)有：

　　于是：

　　对于确定的d‘，d将取遍所有的因子，所以我们可以改变求和顺序：

　　由上面的推导可知：只有当即n = d‘时，等式右边才不为0。所以右边和式只剩下g(n)一项了。

　　简单运用：

　　上面说到莫比乌斯函数和欧拉函数的关系，

　　变形为：

　　视f(n) = n,  g(n) = φ(n), 上式相当于反演公式中的(2)式

　　根据反演公式，可得到(1)式：

线性筛选求莫比乌斯反演函数代码。

有了上面的知识，现在我们来证明莫比乌斯反演定理。

证明

证明完毕！

嗯，有了莫比乌斯反演，很多问题都可以简化了，接下来我们来看看莫比乌斯反演在数论中如何简化运算的。

题目：http://bz.cdqzoi.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818

题意：给一个正整数，其中，求使得为质数的的个数，。

分析：对于本题，因为是使得为质数，所以必然要枚举小于等于的质数，那么对于每一个质数，只

     需要求在区间中，满足有序对互质的对数。

     也就是说，现在问题转化为：在区间中，存在多少个有序对使得互质，这个问题就简单啦，因为

     是有序对，不妨设，那么我们如果枚举每一个，小于有多少个与互素，这正是欧拉函数。所以

     我们可以递推法求欧拉函数，将得到的答案乘以2即可，但是这里乘以2后还有漏计算了的，那么有哪些呢？

     是且为素数的情况，再加上就行了。

代码：

嗯，上题不算太难，普通的欧拉函数就可以搞定，接下来我们来看看它的升级版。

题意：给定两个数和，其中，，求为质数的有多少对？其中和的范

     围是。

分析：本题与上题不同的是和不一定相同。在这里我们用莫比乌斯反演来解决，文章开头也说了它能大大简化

     运算。我们知道莫比乌斯反演的一般描述为：

     其实它还有另一种描述，本题也是用到这种。那就是：

     好了，到了这里，我们开始进入正题。。。

     对于本题，我们设

     为满足且和的的对数

     为满足且和的的对数

     那么，很显然，反演后得到

     因为题目要求是为质数，那么我们枚举每一个质数，然后得到

     如果直接这样做肯定TLE，那么我们必须优化。

     我们设，那么继续得到。

     到了这里，可以看出如果我们可以先预处理出所有的对应的的值，那么本题就解决了。

     我们设，注意这里为素数，。

     那么，我们枚举每一个，得到，现在分情况讨论：

     （1）如果整除，那么得到

     （2）如果不整除，那么得到

莫比乌斯反演（转）

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