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2 7 9 ooo**oooo **oo*ooo* o*oo**o** ooooooooo *******oo o*o*oo*oo *******oo 10 1 * * * o * * * * * *
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17 5
http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6647040
题目大意:
一个矩形中,有N个城市’*’,现在这n个城市都要覆盖无线,若放置一个基站,那么它至多可以覆盖相邻的两个城市。
问至少放置多少个基站才能使得所有的城市都覆盖无线?
解题思路:
思前想后,依稀可以认为是一道求二分图的最小路径覆盖问题(我就想求点覆盖了,但是如果想想如果是独立的点的话,就会排除点覆盖,因为点覆盖的是连线)
(注意不是最小点覆盖)
那么接下来需要确认的是,
究竟是求 有向二分图的最小路覆盖,还是求 无向二分图的最小路覆盖
因为有向和无向是截然不同的计算方法。
要确认是构造有向图,还是构造无向图,那么就需要先根据题意,看看构造二分图时所使用的方式,更适合构造哪一种二分图。
然后就进入了本题难点:如何构造二分图
首先要明确的是,输入的一堆“圈圈星星”可以看做是一张大地图,地图上有所有城市的坐标,但是这里有一个误区:不能简单地把城市的两个x、y坐标作为准备构造的二分图的两个顶点集。
城市才是要构造的二分图的顶点!
构造方法如下:
例如输入:
*oo
***
O*o
时,可以抽象为一个数字地图:
100
234
050
数字就是根据输入的城市次序作为该城市的编号,0代表该位置没有城市。
然后根据题目的“范围”规则,从第一个城市开始,以自身作为中心城市,向四个方向的城市进行连线(覆盖)
因此就能够得到边集:
e12 e21 e32 e43 e53
e23 e34
e35
可以看到,这些边都是有向边,但是每一条边都有与其对应的一条相反边。
即任意两个城市(顶点)之间的边是成对出现的
那么我们就可以确定下来,应该 构造无向二分图(其实无向=双向)
因为若要构造有向的二分图时,需要判断已出现的边,是很麻烦的工作
为了把有向图G构造为无向二分图,这里需要引入一个新名词“拆点”
其实就是把原有向图G的每一个顶点都”拆分(我认为复制更准确)”为2个点,分别属于所要构造的二分图的两个顶点集
例如在刚才的例子中抽出一条有向边e12举例说明:
复制顶点1和顶点2,使得1,2∈V1; 1’,2’∈V2 ,不难发现|V1|=|V2|
根据边e12和e21,得到无向二分图:
那么同理就可以得到刚才的例子的 无向二分图为:
再继而通过无向二分图,以V1的元素作为row,V2的元素作为col,构造 可达矩阵 存储到计算机
1’ 2’ 3’ 4’ 5’
1 F T F F F
2 T F T F F
3 F T F T T
4 F F T F F
5 F F T F F
接下来就是要求这个 无向二分图的最小路径覆盖 了
利用公式:
无向二分图的最小路径覆盖 = 顶点数 – 最大二分匹配数/2
顶点数:就是用于构造无向二分图的城市数,即进行“拆点”操作前的顶点数量
最大二分匹配书之所以要除以2,是因为进行了“拆点”擦奥做做使得匹配总数多了一倍,因此除以2得到原图的真正的匹配数
最后剩下的问题就是求最大二分匹配数了,用匈牙利算法,这就不多说了,参考POJ3041的做法,基本一摸一样。
从这道题得出了一个结论:
当二分图的两个顶点子集基数相等时,该二分图所有顶点的匹配数 等于 任意一个顶点子集匹配数的2倍
其实匈牙利算法解题是极为简单的,但是图论的难并不是难在解答,而是建图的过程,也难怪会有牛曰:用匈牙利算法,建图是痛苦的,最后是快乐的。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 const int MAX = 50; 7 int g[MAX][MAX],s[MAX*MAX][MAX*MAX]; 8 int vis[500],link[500]; 9 char ch; 10 int t,m,n,k; 11 int dfs(int x) 12 { 13 for(int i = 1; i < k; i++) 14 { 15 if(vis[i] == 0 && s[x][i]) 16 { 17 vis[i] = 1; 18 if(link[i] == 0 || dfs(link[i])) 19 { 20 link[i] = x; 21 return true; 22 } 23 } 24 } 25 return false; 26 } 27 int main() 28 { 29 scanf("%d",&t); 30 while(t--) 31 { 32 k = 1; 33 scanf("%d%d",&n,&m); 34 memset(g,0,sizeof(g)); 35 memset(s,0,sizeof(s)); 36 memset(link,0,sizeof(link)); 37 getchar(); 38 for(int i = 1; i <= n; i++) 39 { 40 for(int j = 1; j <= m; j++) 41 { 42 scanf("%c",&ch); 43 if(ch == ‘*‘) 44 g[i][j] = k++; 45 } 46 getchar(); 47 } 48 for(int i = 1; i <= n; i++) 49 { 50 for(int j = 1; j <= m; j++) 51 { 52 if(g[i][j]) 53 { 54 if(g[i - 1][j]) 55 s[ g[i][j] ][ g[i - 1][j] ] = 1; 56 if(g[i + 1][j]) 57 s[ g[i][j] ][ g[i + 1][j] ] = 1; 58 if(g[i][j + 1]) 59 s[ g[i][j] ][ g[i][j + 1] ] = 1; 60 if(g[i][j - 1]) 61 s[ g[i][j] ][ g[i][j - 1] ] = 1; 62 } 63 64 } 65 } 66 int ans = 0; 67 for(int i = 1; i < k; i++) 68 { 69 memset(vis,0,sizeof(vis)); 70 if(dfs(i)) 71 ans++; 72 } 73 printf("%d\n",k - ans / 2 - 1); 74 } 75 76 return 0; 77 }
POJ3020Antenna Placement(最小路径覆盖+重在构图)
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原文地址:http://www.cnblogs.com/zhaopAC/p/5001229.html