codeforces #334 div1 B 603B Moodular Arithmetic(数论)

题目链接：

codeforce 603B

题目大意：

给出$f(kx\ mod\ p ) \equiv kf(x)\ mod \ p$,求满足条件的f(x)的数量。

题目分析：

首先考虑两种特殊情况，即k=0和k=1的情况。

• 当k = 0 时，
  $$\left\{ \begin{aligned} &f(x) = 0 &&,x = 0\& f(x) = \{0, \cdots p-1\} &&, x > 0 \\end{aligned} \right.$$
  因为$k=0\Rightarrow f(kx\ mod \ p) \equiv f(0) , x < p$
  所以只有f(0)必须等于0,其他的f(x)可以为任意值域中的值，所以方案数是$p^{p-1}$
• 当k=1时，
  $$f(x \ mod \ p ) = f(x) \ mod \ p , x <p \Rightarrow x \ mod\ p = x , \\所以f(x) , 0 \leq x < p，f(x)可以为值域内任意值，所以方案数为p^p$$
• 当k>1时，
  
  • 我们令f(x) = n,那么会导致$f(kx),f(k^1x)\cdots f(k^mx)$的值会被确定，而且会形成循环节，我们可以利用$k^m \equiv 1 \ mod \ p$求得循环节的长度。
  • 因为在０到m-1中$k^imod \ p$的值不同，那么他们乘上一个常数n之后也一定是不同的。
  • 然后我们可以通过$\frac{p-1}{m}$知道这p-1个数一共存在多少个这种封闭的群，每个群只需要确定一个值，就确定了其他所有的值，所有说最后的方案数就是$p^{\lceil \frac{p-1}{m} \rceil }$

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long LL;
int k,p;
const LL mod = 1e9+7;


LL pow1 ( LL x , LL n )
{
    LL ret = 1;
    LL num = x;
    while ( n )
    {
        if ( n&1 )
        {
            ret *= num;
            ret %= mod;
        }
        num *= num;
        num %= mod;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main ( )
{
    while ( ~scanf ( "%d%d" , &p , &k ) )
    {
        int m = 1;
        LL temp = k;
        if ( k == 0 )
        {
            printf ( "%lld\n" , pow1 ( p , p-1 ) );
            continue;
        }
        if ( k == 1 )
        {
            printf ( "%lld\n" , pow1 ( p , p ) );
            continue;
        }
        for ( ; m < p  ; m++ )
        {
            if ( temp == 1 ) break;
            temp *= k;
            temp %= p;
        }
        int x = ceil((p-1)*1.0/m);
        printf ( "%lld\n" , pow1 ( p , x ) );     
    }
}