Lagrange 逆定理

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Lagrange 逆定理

2015 年 12 月 2 日

定理 1    设 $z$, $z_0\in\mathbb{C}$. 若 $f(z)$ 在域 $|z-z_0|\leqslant \rho_0$ 内解析. 且有展开式

\begin{equation*}\omega =f(z)=\omega_0 +a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2 +\dotsb +a_n (z-z_n)^{n}+\dotsb, \end{equation*}

其中 $a_1\neq 0$, 则必存在 $\delta_0>0$, 使得 $\omega=f(z)$ 的反函数 $z=\varphi(\omega)$ 在 $|\omega-\omega_0|\leqslant \delta_0$ 中是单值解析函数. 此外若 $F(z)$ 在 $|z-z_0|\leqslant \rho_0$ 中解析,

\begin{equation*} F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}C_n (z-z_0)^n, \end{equation*}

则有

\begin{equation*} F(\varphi(\omega))=F(z_0)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}\zeta^{n-1}}   \bigg\{F‘(\zeta)\bigg(\frac{\zeta-z_0}{f(\zeta-\omega_0)}\bigg)^n\bigg\}_{\zeta=z_0} (\omega-\omega_0)^n \end{equation*}

在 $|\omega-\omega_0|\leqslant 0$ 中成立.

特别地, 有

\begin{equation*}z=\varphi(\omega)=z_0 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}\zeta^{n-1}}\bigg\{\bigg(\frac{\zeta-z_0}{f(\zeta)-\omega_0}\bigg)^n\bigg\}_{\zeta=z_0}(\omega-\omega_0)^n. \end{equation*}

定理 2    设 $z$, $z_0\in\mathbb{C}$, $\omega=f(z)$ 在 $|z-z_0|\leqslant \rho_0$ 内解析, 有展开式

\begin{equation*}\omega=f(z)=\omega_0+a_k (z-z_0)^k +a_{k+1} (z-z_0)^{k+1}+\dotsb, \end{equation*}

其中 $a_k\neq 0$ $(k\geqslant 2)$, 则存在 $\delta_0>0$ 及正数 $\eta$, 在区域

\begin{equation*}|\omega-\omega_0|\leqslant \delta_0, \quad |\arg(\omega-\omega_0)|\leqslant \pi-\eta \end{equation*}

内存在 $\omega=f(z)$ 的反函数 $z=\varphi(\omega)$. 它在该区域内解析, 且有展开式

\begin{equation*}z=\varphi(z)=z_0+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}\zeta^{n-1}}   \bigg\{\frac{(\zeta-z_0)^n}{(f(\zeta)-\omega_0)^{\frac{n}{k}}}\bigg\}_{\zeta=z_0} (\omega-\omega_0)^{\frac{n}{k}}, \end{equation*}

此处 $(\omega-\omega_0)^{\frac{1}{k}}$ 为取定的某一分支函数.

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原文地址：http://www.cnblogs.com/pengdaoyi/p/5013240.html