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最近看了一个日本综艺——最强头脑王决定战，顿觉以前看过的国内烧脑节目，类似“一站到底”之流与之相比真是相形见绌。“一站”说到底只是比谁题库背得熟，而日本这个真的是记忆、计算、观察、推理等各种能力的综合考察，比赛选手们各显神通，观众如我看得也是如痴如醉。
其中比赛到第二轮时有一道题如下：有四堆不同色的棋子，每堆分别有3、5、6、7枚，由选手和电脑开始依次从其中取出一些棋子，每次只可取同一堆的任意枚，如此交替直至取完所有棋子，谁取到最后一枚棋子谁输。
当时水上小哥不假思索地取子很轻松就赢了，让评委们大为惊讶。其实这个题目的背景是博弈论里的尼姆博弈(Nimm Game)，根据初始堆数和每堆棋子数的不同，有一个玩家是有必胜策略的。不过在现场那种紧张的氛围下，能准确地心算出自己的每步策略也不容易。
尼姆博弈归结到最后其实是很简单的奇偶性问题，让我们把将各堆棋子以二进制表示如下：\begin{align*} \begin{matrix} 3: & 0 &1 & 1 \\ 5: & 1 & 0 & 1 \\ 6: & 1 & 1 & 0 \\ 7: & 1 & 1 & 1 \\ \end{matrix} \end{align*}由于棋子最多的一堆是7个棋子，因此二进制表示只需要3位。下面我们考察每一列1的个数，如果每一列1的个数都是偶数的话，就称目前的棋盘状态为“平衡态”，否则就称为“非平衡态”。由于每次只能在一个堆中取棋子，这意味着每次只能对某一行的01串的部分位置进行翻转，若本来棋盘状态是平衡态的话，则对某一行无论怎么操作，都只会将棋盘变成非平衡态。
下面我们再来看一下这道题，初始时为非平衡态，\begin{align*} \begin{matrix} 3: & 0 &1 & 1 \\ 5: & 1 & 0 & 1 \\ 6: & 1 & 1 & 0 \\ 7: & 1 & 1 & 1 \\ & 3 & 3 & 3 \end{matrix} \end{align*}水上小哥将第四堆的7枚棋子全部取走，这时棋盘变成了如下的平衡态\begin{align*} \begin{matrix} 3: & 0 &1 & 1 \\ 5: & 1 & 0 & 1 \\ 6: & 1 & 1 & 0 \\ 0: & 0 & 0 & 0 \\ & 2 & 2 & 2 \end{matrix} \end{align*}于是电脑接下来无论怎么取，都只会将棋盘再次变成非平衡态，然后水上小哥接着再将棋盘变成平衡态，电脑再次变成非平衡态……如此交替，最终到电脑将棋盘变成只剩一堆的非平衡态时，水上小哥只需将这一堆取到只剩1个棋子就赢了。
事实上先手的必胜取法并不是唯一的，但水上小哥说的先手有4种取法也是不对的，可能的取法小于等于总堆数。因为固定其他三堆，通过操作剩下的那一堆将棋盘变成平衡态的方法是唯一的，因此对于每堆最多只有一种操作方法。但是也有操作方法不存在的情况，还是这个例子，固定第二、三、四堆，第一堆只有变成100，即4枚棋子才能达到平衡态，但这种取法是不存在的；另外三堆倒是不存在这个问题，对应的取法分别如下：\begin{align*} \mbox{第二堆：} \ \ \ \begin{matrix} 3: & 0 &1 & 1 \\ 2: & 0 & 1 & 0 \\ 6: & 1 & 1 & 0 \\ 7: & 1 & 1 & 1 \\ & 2 & 4 & 2 \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mbox{第三堆：} \ \ \ \begin{matrix} 3: & 0 &1 & 1 \\ 5: & 1 & 0 & 1 \\ 1: & 0 & 0 & 1 \\ 7: & 1 & 1 & 1 \\ & 2 & 2 & 4 \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mbox{第四堆：} \ \ \ \begin{matrix} 3: & 0 &1 & 1 \\ 5: & 1 & 0 & 1 \\ 6: & 1 & 1 & 0 \\ 0: & 0 & 0 & 0 \\ & 2 & 2 & 2 \end{matrix} \end{align*}所以先手时一共有3种取法。
此外，堆数也不限定于4堆，可以有更多，策略也是跟上面一样。但堆数增多，计算量(2进制和10进制的互换)也跟着加大，心算或许就不能了。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/murongxixi/p/5018063.html
