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方程的求解
一、非线性方程的求解
1、牛顿迭代法。牛顿迭代法的思想是根据函数f(x)的泰勒基数的前几项来寻找方程的根。牛顿迭代法具有平方收敛的速度。
f(x)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0)+...(泰勒公式展开式）
根据泰勒公式展开式的前两项有：
f(x)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0)=0
如果f‘(x0)不等于0则：
x1=x0-(f(x0)/f‘(x0))
这样通过x0得到了x1,然后根据x1进行下一次相似的计算，这样就得到牛顿法的一个迭代序列公式：
xn+1=xn-(f(xn)/f‘(xn))
具体代码如下：
1 /* 2 * @author 3 * 非线性方程的表达式 4 */ 5 double function(double x) { 6 return x * x * x * x - 3 * x * x * x + 1.5 * x * x - 4; 7 } 8 9 /* 10 * @author 11 * 非线性方程的导函数 12 */ 13 double dFunction(double x) { 14 return 4 * x * x * x - 9 * x * x + 3 * x; 15 } 16 17 /* 18 * @author 19 * 牛顿迭代算法 20 * precision为算法的精度，maxGen为最大迭代次数,x为一个地址变量, 21 * 算法刚开始赋值给x是一个初始值，并不是最终的结果，故利用地址变量，方便 22 * 将最后的结果赋值给x 23 */ 24 int newtonMethod(double *x, double precision, int maxGen) { 25 double temp, t; 26 int i = 1; 27 temp = *x; 28 if (dFunction(temp) == 0.0) { 29 printf("Error! The derivative is zero\n"); 30 return 0; 31 } 32 while (i <= maxGen) { 33 t = temp - (function(temp) / dFunction(temp)); 34 if ((fabs(t - temp) < precision) 35 || (fabs(function(temp)) < precision)) { 36 *x = t; 37 return 1; 38 } else { 39 temp = t; 40 } 41 i++; 42 } 43 printf("the number of iteration over maxGen!\n"); 44 return 0; 45 }
2、二分法
二分法的思想：如果函数f(x)，在x=c时，f(c)=0,那么把x=c称为函数f(x)的零点。对于二分法，假定非线性方程f(x)在区间（x,y)上连续，如果存在两个实数a,b属于区间（x,y),使得满足如下式子：
f(a)*f(b)<0
也就是说f(a)，f(b)异号，这说明在区间（a,b)内一定有零点，可以根据f((a+b)/2)来判断方程解的位置，具体代码如下：
1 double function(double x) { 2 return 2 * x * x * x - 5 * x - 1; 3 } 4 /* 5 * @author 6 * 这里将negative 表示函数值小于零的自变量，positive表示函数值大于0的自变量 7 */ 8 int dichotomy(double *x, double negative, double positive, double precision) { 9 double mid, temp; 10 if (function(negative) > 0) 11 positive = negative; 12 if (function(positive) < 0) 13 negative = positive; 14 mid = (positive + negative) / 2; 15 temp = function(mid); 16 if (temp > 0) { 17 positive = mid; 18 } else { 19 negative = mid; 20 } 21 if (fabs(negative - positive) > precision) { 22 dichotomy(x, negative, positive, precision); 23 } else { 24 *x = temp; 25 printf("The result of x is %0.5f\n", mid); 26 } 27 return 0; 28 } 29 /* 30 * 另一种二分法的表示方法 31 */ 32 double erfen(double a, double b, double precision) { 33 double c; 34 c = (a + b) / 2.0; 35 while ((fabs(function(c)) > precision) && (function(a - b) > precision)) { 36 if (function(c) * function(b) < 0) { 37 a = c; 38 } 39 if (function(c) * function(a) < 0) { 40 b = c; 41 } 42 c = (a + b) / 2.0; 43 } 44 return c; 45 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/hoojjack/p/5018593.html
