取模运算

例如11 Mod 2，值为1

上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理：

Turbo Pascal对mod的解释是这样的：

A Mod B=A-(A div B) * B （div含义为整除）

　　本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。

对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：

1.求 整数商： c = a/b;

2.计算模或者余数： r = a - c*b.

求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数)；而取模运算在计算c的值时，向无穷小方向舍入(floor()函数)。

例如：计算-7 Mod 4

那么：a = -7；b = 4；

第一步：求整数商c，如进行求模运算c = -2（向无穷小方向舍入），求余c = -1（向0方向舍入）；

第二部：计算模和余数的公式相同，但因c的值不同，求模时r = 1，求余时r = -3。

归纳：当a和b符号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值一致，因此结果一致。

当符号不一致时，结果不一样。求模运算结果的符号和b一致，求余运算结果的符号和a一致。

另外各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++ 为取余，而java则为取模。

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 ：

n = kp + r ；

其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。

对于正整数 p 和整数 a,b，定义如下运算：

取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

模p加法： ，其结果是a+b算术和除以p的余数。

模p减法： ，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法： ，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。

说明：

1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。

已知一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。

C++实现功能函数：

/*
函数名：IsEven
函数功能：判别整数n的奇偶性。能被2整除为偶数，否则为奇数
输入值：intn，整数n
返回值：bool，若整数n是偶数，返回true，否则返回false
*/
boolIsEven(intn)
{
return(n%2==0);
}

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如 2，3，5，7 是质数，而 4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。

判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法——用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。

C++实现功能函数：

/*函数名：IsPrime函数功能：判别自然数n是否为素数。输入值：intn，自然数n返回值：bool，若自然数n是素数，返回true，否则返回false*/

bool IsPrime(unsignedintn)

{

unsigned maxFactor=sqrt(n);//n的最大因子

for(unsignedinti=2;i<=maxFactor;i++)

{

if(n%i==0)//n能被i整除，则说明n非素数

{

returnfalse;

}

}

return true;

}求最大公约数

求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：

a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

C++实现功能函数：

/*函数功能：利用欧几里德算法，采用递归方式，求两个自然数的最大公约数函数名：Gcd输入值：unsigned int a，自然数a；unsigned int b，自然数b返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数*/

unsigned int Gcd(unsigned int a,unsigned int b)

{

if(b==0)

return a;

return Gcd(b,a%b);

}/*函数功能：利用欧几里德算法，采用迭代方式，求两个自然数的最大公约数函数名：Gcd输入值：unsigned int a，自然数a；unsigned int b，自然数b返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数*/

unsigned int Gcd(unsigned int a,unsigned int b)

{

unsigned int temp;

while(b!=0)

{

temp=a%b;

a=b;

b=temp;

}

returna;

}模幂运算

利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。

例如，我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555（%10），所以问题就简化了。

根据运算规则（4）a^b % p = ((a % p)^b) % p ，我们知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。由于3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。

根据运算规则（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我们得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）

=（1 * 7）（%10）= 7。

计算完毕。

利用这些规则我们可以有效地计算X^N(% P)。简单的算法是将result初始化为1，然后重复将result乘以X，每次乘法之后应用%运算符（这样使得result的值变小，以免溢出），执行N次相乘后，result就是我们要找的答案。

这样对于较小的N值来说，实现是合理的，但是当N的值很大时，需要计算很长时间，是不切实际的。下面的结论可以得到一种更好的算法。

如果N是偶数，那么X^N =（X*X）^[N/2]；

如果N是奇数，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；

其中[N]是指小于或等于N的最大整数。

C++实现功能函数：

/*函数功能：利用模运算规则，采用递归方式，计算X^N(%P)函数名：PowerMod输入值：unsigned int x，底数x unsigned int n，指数nunsigned int p，模p返回值：unsigned int，X^N(%P)的结果*/

unsignedintPowerMod(unsignedintx,unsignedintn,unsignedintp)

{

if(n==0)

{

return1;

}

unsignedinttemp=PowerMod((x*x)%p,n/2,p);//递归计算（X*X）^[N/2]

if((n&1)!=0)//判断n的奇偶性

{

temp=(temp*x)%p;

}

returntemp;

}

《孙子问题(中国剩余定理)》

在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数。”

这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法，国际上称为“中国剩余定理”.

我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：

三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。

这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

根据剩余定理，我把此种解法推广到有n(n为自然数）个除数对应n个余数，求最小被除数的情况。输入n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，计算机将输出最小被除数。

C++实现功能函数：

/*函数名：ResidueTheorem函数功能：运用剩余定理，解决推广了的孙子问题。通过给定n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，返回最小被除数输入值：unsignedintdevisor[]，存储了n个除数的数组unsignedintremainder[]，存储了n个余数的数组intlength，数组的长度返回值：unsignedint，最小被除数*/unsignedintResidueTheorem(constunsignedintdevisor[],constunsignedintremainder[],intlength){unsignedintproduct=1;//所有除数之乘积for(inti=0;i<length;i++)//计算所有除数之乘积{product*=devisor[i];}//公倍数数组，表示除该元素（除数）之外其他除数的公倍数unsignedint*commonMultiple=newunsignedint(length);for(inti=0;i<length;i++)//计算除该元素（除数）之外其他除数的公倍数{commonMultiple[i]=product/devisor[i];}unsignedintdividend=0;//被除数，就是函数要返回的值for(inti=0;i<length;i++)//计算被除数，但此时得到的不是最小被除数{unsignedinttempMul=commonMultiple[i];//按照剩余理论计算合适的公倍数，使得tempMul%devisor[i]==1while(tempMul%devisor[i]!=1){tempMul+=commonMultiple[i];}dividend+=tempMul*remainder[i];//用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数}delete[]commonMultiple;return(dividend%product);//返回最小被除数}凯撒密码

凯撒密码（caeser）是罗马扩张时期朱利斯·凯撒（Julius Caesar）创造的，用于加密通过信使传递的作战命令。

它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。注意26个字母循环使用，z的后面可以堪称是a。

例如，当密匙为k = 3，即向后移动3位时，若明文为”How are you!”，则密文为”Krz duh btx!”。

凯撒密码的加密算法极其简单。其加密过程如下：

在这里，我们做此约定：明文记为m，密文记为c，加密变换记为E(key1,m)（其中key1为密钥），

解密变换记为D(key2,m)（key2为解密密钥）（在这里key1=key2,不妨记为key）。

凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换：c≡m+key (mod n） （其中n为基本字符个数）

同样，解密过程可表示为：m≡c+key (mod n） （其中n为基本字符个数）

C++实现功能函数：

/*函数功能：使用凯撒密码原理，对明文进行加密，返回密文函数名：Encrypt输入值：constcharproclaimedInWriting[]，存储了明文的字符串charcryptograph[]，用来存储密文的字符串intkeyey，加密密匙，正数表示后移，负数表示前移返回值：无返回值，但是要将新的密文字符串返回*/voidEncrypt(constcharproclaimedInWriting[],charcryptograph[],intkey){constintNUM=26;//字母个数intlen=strlen(proclaimedInWriting);for(inti=0;i<len;i++){if(proclaimedInWriting[i]>=‘a‘&&proclaimedInWriting[i]<=‘z‘){//明码是大写字母，则密码也为大写字母cryptograph[i]=(proclaimedInWriting[i]-‘a‘+key)%NUM+‘a‘;}elseif(proclaimedInWriting[i]>=‘A‘&&proclaimedInWriting[i]<=‘Z‘){//明码是小写字母，则密码也为小写字母cryptograph[i]=(proclaimedInWriting[i]-‘A‘+key)%NUM+‘A‘;}else{//明码不是字母，则密码与明码相同cryptograph[i]=proclaimedInWriting[i];}}cryptograph[len]=‘\0‘;}/*函数功能：使用凯撒密码原理，对密文进行解密，返回明文函数名：Decode输入值：charproclaimedInWriting[]，用来存储明文的字符串constcharcryptograph[]，存储了密文的字符串intkeyey，解密密匙，正数表示前移，负数表示后移（与加密相反）返回值：无返回值，但是要将新的明文字符串返回*/voidDecode(constcharcryptograph[],charproclaimedInWriting[],intkey){constintNUM=26;//字母个数intlen=strlen(cryptograph);for(inti=0;i<len;i++){if(cryptograph[i]>=‘a‘&&cryptograph[i]<=‘z‘){//密码是大写字母，则明码也为大写字母，为防止出现负数，转换时要加个NUMproclaimedInWriting[i]=(cryptograph[i]-‘a‘-key+NUM)%NUM+‘a‘;}elseif(cryptograph[i]>=‘A‘&&cryptograph[i]<=‘Z‘){//密码是小写字母，则明码也为小写字母proclaimedInWriting[i]=(cryptograph[i]-‘A‘-key+NUM)%NUM+‘A‘;}else{//密码不是字母，则明码与明密相同proclaimedInWriting[i]=cryptograph[i];}}proclaimedInWriting[len]=‘\0‘;}

模运算及其简单应用就先讲到这了，其实模运算在数学及计算机领域的应用非常广泛，我这这里搜集整理了一些最最基本的情形，希望能够起到一个抛砖引玉的作用，让更多的人关注模运算，并及其应用到更广阔的领域中。