CDOJ 1264 人民币的构造

我们都知道人民币的面值是1、2、5、10，为什么是这个数值呢，我们分析了下发现，从1−10的每个数字都可以由每种面值选出至多一张通过加法和减法（找钱）来构成，（比如：1+2=3，5−1=4，5+1=6，5+2=7，1+2+5=8，10−1=9）

但是实际上，我们只需要1、2、7三种面值就可以组成1−10的每一个数字了

（1+2=3，7−1−2=4，7−2=5，7−1=6，7+1=8，7+2=9，7+1+2=10）

那么现在问题来了，给一个数n，请问最少需要多少种不同的面值就可以构成从1−n的所有数字，注意在构成每一个数字时同种面值不能超过1张。

Input

一个数字n（1<=n<=100000）

Output

一个数字，代表最少需要多少种不同的面值可以构成从1−n的所有数字。

Sample input and output

10

3

分析：

事实上题面是有点迷惑人的，因为前三个最佳的面额并不是1,2,7,而是1, 3, 9

1, 2, 7只能表示1-10的数，但1, 3, 9可以表示1-13的数。

我们用A[n]表示第n个面额，用sum[n]表示前n个面额之和，不难看出A[1]， A[2]……A[n]能表示的范围为1，2……sum[n]

题目要求面额最小，也就相当于A[1]……A[n]能表示的范围尽可能的大，所以

|-----------A[n]  A[n]+1-----------------------------------------------------------------A[n+1]--------------------------------------------------|

                             |--------------------------sum[n]-------------------------------------|

A[n+1] - sum[n] = A[n] + 1

据此，可以写出代码

 1 #include <cstdio>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int main() {
 6   int n;
 7   int cnt = 1;
 8   int sum = 1;
 9   int nw = 1;
10   scanf("%d", &n);
11   while (sum < n) {
12     nw = sum*2+1;
13     sum += nw;
14     cnt++;
15   }
16   printf("%d\n", cnt);
17 
18   return 0;
19 }

事实上这并不是最简洁的方法，

gdb中观察上面代码，不难发现A[n]为1, 3, 9, 27……

猜想A[n]=3^n-1

证明嘛……我再想想。