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问题：

压缩感知问题求稀疏解时，一般采用0范数或者1范数来建立数学模型。那么为什么0范数或1范数可以得到稀疏解呢？

解释与分析：

1、范数

常见的有L0范数、L1范数、L2范数，经常要将L0范数等价为L1范数去求解，因为L1范数求解是一个凸优化问题，而L0范数求解是一个NP难问题。

L0范数指的是x中非零元素的个数，即x的稀疏度，如果x是K稀疏的，则l0范数等于K；

L1范数指的是x中所有元素模值的和；

L2范数指的是x中所有元素模值平方的和 再平方，这个带公式就可以了，它代表着距离的概念；

还有无穷范数，指的是x中元素模的最大值。

2、稀疏性

在压缩感知里经常提到 "K稀疏" 的概念，这个是很容易理解的：也就是对于长度为N的向量（实际上是指一个N维离散离值信号）来说，它的N个元素值只有K个是非零的，其中K<<N，这时我们称这个向量是K稀疏的或者说是严格K稀疏的；实际中要做到严格K稀疏不容易，一般来说，只要除了这K个值其它的值很小很小，我们就认为向量是稀疏的，这时区别于严格K稀疏且就叫它K稀疏吧。

为什么要谈稀疏这个问题呢？因为如果信号是稀疏的，则它是可压缩的，也就是说里面那么多零，我只记录那些非零值及它的位置就好了。

当然，现实中的信号本身一般并不是稀疏的，但经过一个变换后，在一组基上面是稀疏的，这就是信号的稀疏表示。

稀疏性是压缩感知的前提。

3、范数与稀疏性的关系

压缩感知的数学模型：

不同范数建立的数学模型的几何表示如下图所示：

Ax=b就是一个线性投影过程，因此在空间中就是一条直线；

而||x||p在空间中则表示为一个几何体，其形状与p有关；

当0<p<1时，Lp球是内凸的，当球的半径逐渐增加时与直线的交点将位于坐标轴，而这样一个点是稀疏的，因为坐标轴上的点，除了所在轴坐标外，其他坐标值均为0；（在N维空间中，坐标轴上的点是稀疏的）

当p=1时，Lp球为菱状，在特定条件下同样会导致一个稀疏解；

当p>1时，Lp求是外凸的，当逐渐膨胀时与图像的切点必不位于坐标轴上，即此时的解是不稀疏的，如L2为圆球。

参考：

http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/40268943

浅谈压缩感知（九）：范数与稀疏性

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原文地址：http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/5047174.html