标签：
个人觉得约瑟夫环很有意思 于是存储在这里 希望对一些尚有疑惑的朋友能贡献微薄助力
先把问题稍微改变一下，并不影响原意：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号(就我个人来看 这里这样转化 可以省去下面对(f+m)%i==0的讨论)
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简便。
#include<stdio.h>
int main(void)
{
int n,m,i,f=0;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(i=2;i<=n;++i)
{
f=(f+m)%i;(一开始我也不懂这里为什么不是f=(f+m%i)%i 后来我用同余证明了((f+m%i)%i==(f+m)%i )
}
printf("%d\n",f+1);
return 0;
}
同余定义：两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m
记作 a≡b (mod m)
同余有个性质就是如果|a-b|整除m
那么a≡b (mod m)
证明：a b可以表示成
a=m*q1+r1
b=m*q2+r2
如果|a-b|=km
那么|r1-r2|要么是m的倍数要么是0 很显然余数是不可能大于商m的 也就是说|r1-r2|只能是0 即r1=r2 即a≡b (mod m
下面证明(f+m%i)%i==(f+m)%i
m可以表示成
m=q*i+r
r=m-q*i
那么(f+m)-(f+m%i)=(f+m)-(f+r)=q*r
所以根据我们上面的同余的性质
(f+m%i)≡(f+m)（mod i)
也就是(f+m%i)%i==(f+m)%i
最后声明一下 楼主只是一个普通的大一新生 有什么说的不对劳烦各位能够及时指出 谢谢了
标签：
原文地址：http://www.cnblogs.com/AloneC/p/5058233.html
