【机器学习】Logistic Regression 的前世今生（理论篇）

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本博客仅为作者记录笔记之用，不免有很多细节不对之处。

还望各位看官能够见谅，欢迎批评指正。

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写这篇博客的动力是源于看到了下面这篇微博：

我在看到这篇微博的时候大为触动，因为，如果是rickjin来面试我，我想我会死的很惨，因为他问的问题我基本都回答不上来。所以，痛定思痛，我决定今后对一些算法的理解不能只是停留在表面，而应该至少往前推一步，尝试看得更远一些。
对于学习机器学习的人来说，Logistic Regression可以说是一个入门的算法，算法本身不复杂，不过也正是因为这个原因，很多人往往忽略了这个算法的一些内在精髓。

这篇博客里，我打算就rickjin问的一些问题，进行总结：

1. LR原理
2. LR的求解数学推导
3. LR的正则化
4. 为什么LR能比线性回归好？
5. LR与MaxEnt的关系
6. 并行化的LR

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逻辑回归模型

虽然逻辑回归 姓 回归，不过其实它的真实身份是二分类器。介绍完了姓，我们来介绍一下它的名字，逻辑斯蒂。这个名字来源于逻辑斯蒂分布：

逻辑斯蒂分布

设X是连续随机变量，X服从逻辑斯蒂分布是指X具有下列的分布函数和密度函数：

$$F(x) = P(X \leq x)=\dfrac{1}{1+e^{-(x-\mu)/\gamma}}$$ $$f(x) = F^\prime(X \leq x)=\dfrac{e^{-(x-\mu)/\gamma}}{\gamma(1+e^{-(x-\mu)/\gamma})^2}$$ 上式中，$\mu$ 表示位置参数，$\gamma>0$ 为形状参数。

有没有发现$F(x)$是啥？有图你就知道真相了：

有没有发现右边很熟悉？没错，就是sigmoid 曲线，只不过，这个曲线是以点( $\mu$, $\dfrac{1}{2}$) 为中心对称。从图中可以看出，曲线在中心附近增长速度较快，而形状参数 $\gamma$ 值越小，曲线在中心附近增长越快，请自行脑补一下。

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二项逻辑回归模型

之前说到，逻辑回归是一种二分类模型，由条件概率分布$P(Y|X)$ 表示，形式就是参数化的逻辑斯蒂分布。这里的自变量$X$取值为实数，而因变量$Y$为0或者1。二项LR的条件概率如下：

$$P(Y=1|x) = =\dfrac{e^{w \cdot x}}{1+e^{w \cdot x}}$$ $$P(Y=0|x) = =\dfrac{1}{1+e^{w \cdot x}}$$ 一个事件的几率（odds）：指该事件发生与不发生的概率比值，若事件发生概率为$p$，那么事件发生的几率就是 $$odds=\dfrac{p}{1-p}$$ 那么该事件的对数几率（log odds或者logit）就是：
$$logit(p)=log\dfrac{p}{1-p}$$ 那么，对逻辑回归而言，$Y=1$的对数几率就是：
$$log\frac{P(Y=1|x)}{1-P(Y=1|x)}=w \cdot x$$

也就是说，输出$Y=1$的对数几率是由输入$x$的线性函数表示的模型，这就是 逻辑回归模型。当 $w \cdot x$的值越接近正无穷，$P(Y=1|x)$ 概率值也就越接近1.

模型的数学形式确定后，剩下就是如何去求解模型中的参数。在统计学中，常常使用极大似然估计法来求解，即找到一组参数，使得在这组参数下，我们的数据的似然度（概率）最大。

设：

$$P(Y=1|x) = \pi(x), P(Y=0|x) = 1- \pi(x)$$

似然函数：

$$L(w)=\prod[\pi(x_i)]^{y_i}[1-\pi(x_i)]^{1-y_i}$$

对数似然函数:

$$lnL(w)=\sum[y_iln\pi(x_i)+(1-y_i)ln(1-\pi(x_i))]$$ $$=\sum[y_iln\frac{\pi(x_i)}{1-\pi(x_i)}+ln(1-\pi(x_i))]$$ $$=\sum[y_i(w \cdot x_i) - ln(1+e^{w \cdot x_i})]$$

现在要求 $w$ 使得$L(w)$ 最大，有的人可能会有疑问：

在机器学习领域，我们更经常遇到的是损失函数的概念，其衡量的是模型预测错误的程度。常用的损失函数有0-1损失，log损失，hinge损失等。通常是最小化损失函数，这里为啥求极大似然估计？

实际上，对数似然损失在单个数据点上的定义为：

$$?ylnp(y|x)?(1?y)ln[1?p(y|x)]=-[y_iln\pi(x_i)+(1-y_i)ln(1-\pi(x_i))]$$

如果取整个数据集上的平均对数似然损失，我们恰好可以得到:

$$J(w)=-\frac{1}{N}lnL(w)$$

即在逻辑回归模型中，我们最大化似然函数和最小化对数似然损失函数实际上是等价的。

接下来就是对$L(w)$求极大值(也可认为是求$J(w)$的最小值)，得到$w$的估计值。逻辑回归学习中通常采用的方法是梯度下降法 和 牛顿法。

[先跑个题]，讲到求极值的方法，突然想到有几个可视化的gif图，能够很直观地体现各种算法的优劣，好东西当然要分享了。

Imgur 网友通过可视化方法，对比了SGD, momentum, Nesterov, AdaGrad, AdaDelta,
RMSProp等优化算法在Long Valley, Beale’s Function及Saddle Point情况下的性质。

Long Valley:

Beale’s Function:

Saddle Point:

以后会专门写一篇来讲求极值的方法，这是题外话了，我们还是继续回归逻辑吧，哈哈。
下面介绍使用梯度下降法来求解逻辑回归问题。

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使用梯度下降法(Gradient Descent)求解逻辑回归

算法（梯度下降法求解逻辑回归）
输入：目标函数：$J(w)$(对数似然损失函数)，梯度函数： $g(w)=\nabla J(w)$， 计算精度$\epsilon$
输出：$J(w)$ 的极小值点 $w^*$
过程：
(1) 取初始值 $w_0\in \bf R^n$， 令$k=0$
(2) 计算$J(w_k)$

$$J(w_k)=-\frac{1}{N}lnL(w_k)\Rightarrow -lnL(w_k)$$ $$=\sum[y_i(w_k \cdot x_i) - ln(1+e^{w_k \cdot x_i})]$$

(3) 计算梯度 $g_k=g(w_k)=\nabla J(w)$

$$g(w_k)=\sum [x_i \cdot y_i- \frac{x_i\cdot e^{w_k \cdot x_i}}{1+e^{w_k \cdot x_i}}]$$

$$=\sum [x_i \cdot y_i- \pi(x_i) ]$$

若$||g_k||<\epsilon$ ，停止迭代，令

$$w^*=w_k$$

否则，令$p_k=-g(w_k)$，求$\lambda_k$，使得

$$J(w_k+\lambda_kp_k)=min(J(w_k+\lambda p_k))$$

(4) 令$w_{k+1}=w_k+\lambda_kp_k$，计算 $J(w_{k+1})$
当$||J(w_{k+1})-J(w_k)||<\epsilon$ 或 $||w_{k+1}-w_k||<\epsilon$，停止迭代，令

$$w^*=w_{k+1}$$

(5) 否则，令$k=k+1$，转(3).

逻辑回归的正则化

当模型的参数过多时，很容易遇到过拟合的问题。而正则化是结构风险最小化的一种实现方式，通过在经验风险上加一个正则化项，来惩罚过大的参数来防止过拟合。

正则化是符合奥卡姆剃刀(Occam’s razor)原理的：在所有可能选择的模型中，能够很好地解释已知数据并且十分简单的才是最好的模型。

我们来看一下underfitting，fitting跟overfitting的情况：

显然，最右这张图overfitting了，原因可能是能影响结果的参数太多了。典型的做法在优化目标中加入正则项，通过惩罚过大的参数来防止过拟合：

$$J(w)=>J(w)+\lambda||w||_p$$

p=1或者2，表示$L_1$ 范数和 $L_2$范数，这两者还是有不同效果的。

$L_1$范数：是指向量中各个元素绝对值之和，也有个美称叫“稀疏规则算子”（Lasso regularization）。那么，参数稀疏 有什么好处呢？

一个关键原因在于它能实现 特征的自动选择。一般来说，大部分特征 $x_i$和输出 $y_i$ 之间并没有多大关系。在最小化目标函数的时候考虑到这些额外的特征 $x_i$，虽然可以获得更小的训练误差，但在预测新的样本时，这些没用的信息反而会干扰了对正确 $y_i$ 的预测。稀疏规则化算子的引入就是为了完成特征自动选择的光荣使命，它会学习地去掉这些没有信息的特征，也就是把这些特征对应的权重置为0。

$L_2$范数：它有两个美称，在回归里面，有人把有它的回归叫“岭回归”（Ridge Regression），有人也叫它“权值衰减”(weight decay)。

它的强大之处就是它能 解决过拟合 问题。我们让 $L2$ 范数的规则项 $||w||_2$ 最小，可以使得 $w$ 的每个元素都很小，都接近于0，但与 $L1$ 范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这里还是有很大区别的。而越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。咦，你为啥说越小的参数表示的模型越简单呢？ 其实我也不知道，我也是猜，可能是因为参数小，对结果的影响就小了吧。

为了更直观看出两者的区别，我再放一张图：

为了简单，上图只考虑了$w$为二维$(w^1, w^2)$的情况。彩色等高线是$(w^1, w^2)$；而左边黑色矩形 $||w||_1<C$ 和右边的圆形 $||w||_2<C$ 是约束条件；相交的黑点就是最优解发生的地方。两者的区别可以从图中看出来，$L_1$正则化（左图）倾向于使参数变为0，因此能产生稀疏解。而 $L_2$ 使 $w$ 接近0；

一句话总结就是：$L_1$ 会趋向于产生少量的特征，而其他的特征都是0，而 $L_2$ 会选择更多的特征，这些特征都会接近于0。

为什么逻辑回归比线性回归要好？

虽然逻辑回归能够用于分类，不过其本质还是线性回归。它仅在线性回归的基础上，在特征到结果的映射中加入了一层sigmoid函数（非线性）映射，即先把特征线性求和，然后使用sigmoid函数来预测。然而，正是这个简单的逻辑函数，使得逻辑回归模型成为了机器学习领域一颗耀眼的明星。

下面我们来谈谈逻辑回归与线性回归的异同点吧。

假设随Tumor Size变化，预测病人的肿瘤是恶性（malignant）还是良性（benign）的情况。给出8个数据如下（阈值为0.5）：

![此处输入图片的描述][10]

图1.a中，粉色线是预测模型，可以看出，模型能够完全把结果预测对了，但是图1.b中蓝色线却预测的很差。

这主要是由于线性回归在整个实数域内敏感度一致，而分类范围，需要在[0,1]之内。而逻辑回归就是一种减小预测范围，将预测值限定为[0,1]间的一种回归模型，其回归方程与回归曲线如下图所示。逻辑曲线在z=0时，十分敏感，在z>>0或z<<0处，都不敏感，将预测值限定为(0,1)。

逻辑回归与最大熵模型MaxEnt的关系?

逻辑回归跟最大熵模型到底有啥区别呢？

简单粗暴 的回答是：逻辑回归跟最大熵模型没有本质区别。逻辑回归是最大熵对应类别为二类时的特殊情况，也就是当逻辑回归类别扩展到多类别时，就是最大熵模型。

下面来详细地介绍一下：

在进行下面推导之前，先上几个数学符号定义:

1. $\pi(x)_u$ 表示，输入时$x$, 输出的 $y=u$的概率;
2. $A(u,v)$ 是一个指示函数，若$u=v$，则 $A(u,v)=1$；否则 $A(u,v)=0$
3. 我们的目标，就是从训练数据中，学习得到一个模型，使得 $\pi(x)_u$ 最大化，也就是输入$x$，预测结果是 $y$ 的概率最大，也就是使得 $\pi(x)_{y}$ 最大；

回顾逻辑回归

标准的逻辑回归是二类模型，有：

$$P(Y=1|x) = \pi(x)_1 =\dfrac{e^{w \cdot x}}{1+e^{w \cdot x}}$$ $$P(Y=0|x) = \pi(x)_0 = 1-\pi(x)_1$$

我们用一个更加泛化的形式来表达 $\pi()$，(只是在这里，k=2)：

$$\pi(x)_v=\dfrac{e^{w_v \cdot x}}{\sum_{u=1}^k e^{w_u \cdot x}}$$

回到我们的目标：令$\pi(x_i)_{y_i}$ 最大，可以用极大似然估计的方法来求解。

$$L(w)=\prod_{i=1}^n \pi(x_i)y_i$$

$$lnL(w)=\sum_{i=1}^n ln(\pi(x_i)y_i)$$

对$lnL(w)$求偏导，得到：

$$\frac{\delta}{\delta w_{u,j}}lnL(w)=...=\sum_{i=1,\;y_i=u}^nx_{ij}-\sum_{i=1}^nx_{ij}\pi(x_i)_u$$

令偏导等于0，可以得到：

$$\sum_{i=1}^nx_{ij}\pi(x_i)_u=\sum_{i=1,\;y_i=u}^nx_{ij}, (for\;all\; u,j)$$

使用$A(u,y_i)$ 这个函数，我们可以重写等式：

$$\sum_{i=1}^nx_{ij}\pi(x_i)_u=\sum_{i=1}^n A(u,y_i)x_{ij}, (for\;all\; u,j)$$

回顾最大熵模型

想要证明逻辑回归跟最大熵模型是等价的，那么，只要能够证明它们的 $\pi()$ 是相同，结论自然就出来了。现在，我们不知道最大熵模型的 $\pi()$，但是我们知道下面的一些性质：

$$\pi(x)_v\geq0 \quad always$$

$$\sum_{v=1}^k\pi(x)_v = 1 \quad always$$

$$\sum_{i=1}^nx_{ij}\pi(x_i)_u=\sum_{i=1}^n A(u,y_i)x_{ij}, (for\;all\; u,j)$$

利用信息论的只是，我们可以得到$\pi()$ 的熵，定义如下：

$$-\sum_{v=1}^k\sum_{i=1}^n\pi(x_i)_vlog[\pi(x_i)_v]$$

现在，我们有了目标：$\sum\pi()$ 最大，也有了上面的4个约束条件。求解约束最优化问题，可以通过拉格朗日乘子，将约束最优化问题转换为无约束最优化的对偶问题。我们的拉格朗日式子可以写成如下：

$$L=\sum_{j=1}^m\sum_{v=1}^kw_{v,j}(\sum_{i=1}^n\pi(x_i)_vx_{ij}-A(v,y_i)x_{ij})$$

$$+\sum_{v=1}^k\sum_{i=1}^n\beta_i(\pi(x_i)_v-1)$$

$$-\sum_{v=1}^k\sum_{i=1}^n \pi(x_i)_vlog[\pi(x_i)_v]$$

对$L$求偏导，得到：

$$\frac{\delta}{\delta \pi(x_i)_u}L=w_u \cdot x_i+\beta_i-log[\pi(x_i)_u]-1$$

令偏导=0，得到：$w_u \cdot x_i+\beta_i-log[\pi(x_i)_u]-1=0$，从而得到：

$$\pi(x_i)_u=e^{w_u \cdot x_i+\beta_i-1}$$

因为有约束条件:$\sum_{v=1}^k \pi(x)_v = 1$，所以，

$$\sum_{v=1}^ke^{w_v \cdot x_i+\beta_i-1}=1$$

因此，可以得到

$$e^\beta=1/\sum_{v=1}^ke^{w_v \cdot x_i-1}$$

把$e^\beta$ 代入$\pi()$，并且简化一下式子：

$$\pi(x)_u=\frac{e^{w_u\cdot x}}{\sum_{v=1}^k e^{w_v \cdot x}}$$

有没有发现这就是逻辑回归中，提到的那个泛化的式子，这就证明了逻辑回归是最大熵模型的一个特殊例子（k=2）！

到此，逻辑回归与最大熵模型的关系就解释完毕了，总结一下：

逻辑回归跟最大熵模型没有本质区别。逻辑回归是最大熵对应类别为二类时的特殊情况

指数簇分布的最大熵等价于其指数形式的最大似然。

二项式分布的最大熵解等价于二项式指数形式(sigmoid)的最大似然；
多项式分布的最大熵等价于多项式分布指数形式(softmax)的最大似然。

假设分布求解最大熵，引入拉格朗日函数，求偏导数等于0，直接求出的就是sigmoid函数形式。还有很多指数簇分布都有对应的最大似然解。而单个指数簇分布往往表达能力有限，这就需要引入了多个指数簇分布的混合模型，比如高斯混合，从而引出EM算法。

Logistic Regression的理论部分讲的差不多了，下一篇文章将介绍Logistic Regression的并行化 工程问题。敬请期待…

Please feel free to contact me if you have any questions.

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参考文献

[1]. 李航，《统计学习方法》 
[2]. John Mount. *"The equivalence of logistic regression and maximum entropy models"*
[3]. http://tech.meituan.com/intro_to_logistic_regression.html
[4]. http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995
[5]. http://www.tuicool.com/articles/auQFju