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Logistic Regression 的前世今生(理论篇)

时间:2015-12-19 18:04:09      阅读:3033      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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【机器学习】Logistic Regression 的前世今生(理论篇)


本博客仅为作者记录笔记之用,不免有很多细节不对之处。

还望各位看官能够见谅,欢迎批评指正。

博客虽水,然亦博主之苦劳也。

如需转载,请附上本文链接,不甚感激!
http://blog.csdn.net/cyh_24/article/details/50359055


写这篇博客的动力是源于看到了下面这篇微博:

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我在看到这篇微博的时候大为触动,因为,如果是rickjin来面试我,我想我会死的很惨,因为他问的问题我基本都回答不上来。所以,痛定思痛,我决定今后对一些算法的理解不能只是停留在表面,而应该至少往前推一步,尝试看得更远一些。
对于学习机器学习的人来说,Logistic Regression可以说是一个入门的算法,算法本身不复杂,不过也正是因为这个原因,很多人往往忽略了这个算法的一些内在精髓。

这篇博客里,我打算就rickjin问的一些问题,进行总结:

1. LR原理
2. LR的求解数学推导
3. LR的正则化
4. 为什么LR能比线性回归好?
5. LR与MaxEnt的关系
6. 并行化的LR


逻辑回归模型

虽然逻辑回归 姓 回归,不过其实它的真实身份是二分类器。介绍完了姓,我们来介绍一下它的名字,逻辑斯蒂。这个名字来源于逻辑斯蒂分布:

逻辑斯蒂分布

设X是连续随机变量,X服从逻辑斯蒂分布是指X具有下列的分布函数密度函数

F(x)=P(Xx)=11+e?(x?μ)/γ
f(x)=F(Xx)=e?(x?μ)/γγ(1+e?(x?μ)/γ)2
上式中,μ 表示位置参数γ>0形状参数。

有没有发现F(x)是啥?有图你就知道真相了:

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有没有发现右边很熟悉?没错,就是sigmoid 曲线,只不过,这个曲线是以点( μ, 12) 为中心对称。从图中可以看出,曲线在中心附近增长速度较快,而形状参数 γ 值越小,曲线在中心附近增长越快,请自行脑补一下。


二项逻辑回归模型

之前说到,逻辑回归是一种二分类模型,由条件概率分布P(Y|X) 表示,形式就是参数化的逻辑斯蒂分布。这里的自变量X取值为实数,而因变量Y为0或者1。二项LR的条件概率如下:

P(Y=1|x)==ew?x1+ew?x
P(Y=0|x)==11+ew?x
一个事件的几率(odds):指该事件发生与不发生的概率比值,若事件发生概率为p,那么事件发生的几率就是
odds=p1?p
那么该事件的对数几率(log odds或者logit)就是:
logit(p)=logp1?p
那么,对逻辑回归而言,Y=1对数几率就是:
logP(Y=1|x)1?P(Y=1|x)=w?x

也就是说,输出Y=1的对数几率是由输入x线性函数表示的模型,这就是 逻辑回归模型。当 w?x的值越接近正无穷,P(Y=1|x) 概率值也就越接近1.

模型的数学形式确定后,剩下就是如何去求解模型中的参数。在统计学中,常常使用极大似然估计法来求解,即找到一组参数,使得在这组参数下,我们的数据的似然度(概率)最大。

设:

P(Y=1|x)=π(x),P(Y=0|x)=1?π(x)

似然函数:

L(w)=[π(xi)]yi[1?π(xi)]1?yi

对数似然函数:

lnL(w)=[yilnπ(xi)+(1?yi)ln(1?π(xi))]
=[yilnπ(xi)1?π(xi)+ln(1?π(xi))]
=[yi(w?xi)?ln(1+ew?xi)]

现在要求 w 使得L(w) 最大,有的人可能会有疑问:

在机器学习领域,我们更经常遇到的是损失函数的概念,其衡量的是模型预测错误的程度。常用的损失函数有0-1损失,log损失,hinge损失等。通常是最小化损失函数,这里为啥求极大似然估计?

实际上,对数似然损失在单个数据点上的定义为:

?ylnp(y|x)?(1?y)ln[1?p(y|x)]=?[yilnπ(xi)+(1?yi)ln(1?π(xi))]

如果取整个数据集上的平均对数似然损失,我们恰好可以得到:

J(w)=?1NlnL(w)

即在逻辑回归模型中,我们最大化似然函数最小化对数似然损失函数实际上是等价的。

接下来就是对L(w)求极大值(也可认为是求J(w)的最小值),得到w的估计值。逻辑回归学习中通常采用的方法是梯度下降法牛顿法

[先跑个题],讲到求极值的方法,突然想到有几个可视化的gif图,能够很直观地体现各种算法的优劣,好东西当然要分享了。

Imgur 网友通过可视化方法,对比了SGD, momentum, Nesterov, AdaGrad, AdaDelta,
RMSProp等优化算法在Long Valley, Beale’s Function及Saddle Point情况下的性质。

Long Valley:
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Beale’s Function:

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Saddle Point:

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以后会专门写一篇来讲求极值的方法,这是题外话了,我们还是继续回归逻辑吧,哈哈。
下面介绍使用梯度下降法来求解逻辑回归问题。


使用梯度下降法(Gradient Descent)求解逻辑回归

算法(梯度下降法求解逻辑回归)
输入:目标函数:J(w)(对数似然损失函数),梯度函数: g(w)=?J(w), 计算精度?
输出J(w) 的极小值点 w?
过程
(1) 取初始值 w0Rn, 令k=0
(2) 计算J(wk)

J(wk)=?1NlnL(wk)??lnL(wk)
=[yi(wk?xi)?ln(1+ewk?xi)]

(3) 计算梯度 gk=g(wk)=?J(w)

g(wk)=[xi?yi?xi?ewk?xi1+ewk?xi]

=[xi?yi?π(xi)]

||gk||<? ,停止迭代,令

w?=wk

否则,令pk=?g(wk),求λk,使得

J(wk+λkpk)=min(J(wk+λpk))

(4)wk+1=wk+λkpk,计算 J(wk+1)
||J(wk+1)?J(wk)||<?||wk+1?wk||<?,停止迭代,令

w?=wk+1

(5) 否则,令k=k+1,转(3).

逻辑回归的正则化

当模型的参数过多时,很容易遇到过拟合的问题。而正则化是结构风险最小化的一种实现方式,通过在经验风险上加一个正则化项,来惩罚过大的参数来防止过拟合。

正则化是符合奥卡姆剃刀(Occam’s razor)原理的:在所有可能选择的模型中,能够很好地解释已知数据并且十分简单的才是最好的模型。

我们来看一下underfitting,fitting跟overfitting的情况:

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显然,最右这张图overfitting了,原因可能是能影响结果的参数太多了。典型的做法在优化目标中加入正则项,通过惩罚过大的参数来防止过拟合:

J(w)=>J(w)+λ||w||p

p=1或者2,表示L1 范数和 L2范数,这两者还是有不同效果的。

L1范数:是指向量中各个元素绝对值之和,也有个美称叫“稀疏规则算子”(Lasso regularization)。那么,参数稀疏 有什么好处呢?

一个关键原因在于它能实现 特征的自动选择。一般来说,大部分特征 xi和输出 yi 之间并没有多大关系。在最小化目标函数的时候考虑到这些额外的特征 xi,虽然可以获得更小的训练误差,但在预测新的样本时,这些没用的信息反而会干扰了对正确 yi 的预测。稀疏规则化算子的引入就是为了完成特征自动选择的光荣使命,它会学习地去掉这些没有信息的特征,也就是把这些特征对应的权重置为0。

L2范数:它有两个美称,在回归里面,有人把有它的回归叫“岭回归”(Ridge Regression),有人也叫它“权值衰减”(weight decay)。

它的强大之处就是它能 解决过拟合 问题。我们让 L2 范数的规则项 ||w||2 最小,可以使得 w 的每个元素都很小,都接近于0,但与 L1 范数不同,它不会让它等于0,而是接近于0,这里还是有很大区别的。而越小的参数说明模型越简单,越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。,你为啥说越小的参数表示的模型越简单呢? 其实我也不知道,我也是猜,可能是因为参数小,对结果的影响就小了吧。

为了更直观看出两者的区别,我再放一张图:

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为了简单,上图只考虑了w为二维(w1,w2)的情况。彩色等高线是(w1,w2);而左边黑色矩形 ||w||1<C 和右边的圆形 ||w||2<C 是约束条件;相交的黑点就是最优解发生的地方。两者的区别可以从图中看出来,L1正则化(左图)倾向于使参数变为0,因此能产生稀疏解。而 L2 使 w 接近0;

一句话总结就是:L1 会趋向于产生少量的特征,而其他的特征都是0,而 L2 会选择更多的特征,这些特征都会接近于0。

为什么逻辑回归比线性回归要好?

虽然逻辑回归能够用于分类,不过其本质还是线性回归。它仅在线性回归的基础上,在特征到结果的映射中加入了一层sigmoid函数(非线性)映射,即先把特征线性求和,然后使用sigmoid函数来预测。然而,正是这个简单的逻辑函数,使得逻辑回归模型成为了机器学习领域一颗耀眼的明星。

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下面我们来谈谈逻辑回归与线性回归的异同点吧。

假设随Tumor Size变化,预测病人的肿瘤是恶性(malignant)还是良性(benign)的情况。给出8个数据如下(阈值为0.5):

![此处输入图片的描述][10]

图1.a中,粉色线是预测模型,可以看出,模型能够完全把结果预测对了,但是图1.b中蓝色线却预测的很差。

这主要是由于线性回归在整个实数域内敏感度一致,而分类范围,需要在[0,1]之内。而逻辑回归就是一种减小预测范围,将预测值限定为[0,1]间的一种回归模型,其回归方程与回归曲线如下图所示。逻辑曲线在z=0时,十分敏感,在z>>0或z<<0处,都不敏感,将预测值限定为(0,1)。

逻辑回归与最大熵模型MaxEnt的关系?

逻辑回归跟最大熵模型到底有啥区别呢?

简单粗暴 的回答是:逻辑回归跟最大熵模型没有本质区别。逻辑回归是最大熵对应类别为二类时的特殊情况,也就是当逻辑回归类别扩展到多类别时,就是最大熵模型。

下面来详细地介绍一下:

在进行下面推导之前,先上几个数学符号定义:

  1. π(x)u 表示,输入时x, 输出的 y=u的概率;
  2. A(u,v) 是一个指示函数,若u=v,则 A(u,v)=1;否则 A(u,v)=0
  3. 我们的目标,就是从训练数据中,学习得到一个模型,使得 π(x)u 最大化,也就是输入x,预测结果是 y 的概率最大,也就是使得 π(x)y 最大;

回顾逻辑回归

标准的逻辑回归是二类模型,有:

P(Y=1|x)=π(x)1=ew?x1+ew?x
P(Y=0|x)=π(x)0=1?π(x)1

我们用一个更加泛化的形式来表达 π(),(只是在这里,k=2):

π(x)v=ewv?xku=1ewu?x

回到我们的目标:令π(xi)yi 最大,可以用极大似然估计的方法来求解。

L(w)=i=1nπ(xi)yi

lnL(w)=i=1nln(π(xi)yi)

lnL(w)求偏导,得到:

δδwu,jlnL(w)=...=i=1,yi=unxij?i=1nxijπ(xi)u

令偏导等于0,可以得到:

i=1nxijπ(xi)u=i=1,yi=unxij,(forallu,j)

使用A(u,yi) 这个函数,我们可以重写等式:

i=1nxijπ(xi)u=i=1nA(u,yi)xij,(forallu,j)

回顾最大熵模型

想要证明逻辑回归跟最大熵模型是等价的,那么,只要能够证明它们的 π() 是相同,结论自然就出来了。现在,我们不知道最大熵模型的 π(),但是我们知道下面的一些性质:

π(x)v0always

v=1kπ(x)v=1always

i=1nxijπ(xi)u=i=1nA(u,yi)xij,(forallu,j)

利用信息论的只是,我们可以得到π(),定义如下:

?v=1ki=1nπ(xi)vlog[π(xi)v]

现在,我们有了目标π() 最大,也有了上面的4个约束条件。求解约束最优化问题,可以通过拉格朗日乘子,将约束最优化问题转换为无约束最优化的对偶问题。我们的拉格朗日式子可以写成如下:

L=j=1mv=1kwv,j(i=1nπ(xi)vxij?A(v,yi)xij)

+v=1ki=1nβi(π(xi)v?1)

?v=1ki=1nπ(xi)vlog[π(xi)v]

L求偏导,得到:

δδπ(xi)uL=wu?xi+βi?log[π(xi)u]?1

令偏导=0,得到:wu?xi+βi?log[π(xi)u]?1=0,从而得到:

π(xi)u=ewu?xi+βi?1

因为有约束条件:kv=1π(x)v=1,所以,

v=1kewv?xi+βi?1=1

因此,可以得到

eβ=1/v=1kewv?xi?1

eβ 代入π(),并且简化一下式子:

π(x)u=ewu?xkv=1ewv?x

有没有发现这就是逻辑回归中,提到的那个泛化的式子,这就证明了逻辑回归是最大熵模型的一个特殊例子(k=2)!

到此,逻辑回归与最大熵模型的关系就解释完毕了,总结一下:

逻辑回归跟最大熵模型没有本质区别。逻辑回归是最大熵对应类别为二类时的特殊情况

指数簇分布的最大熵等价于其指数形式的最大似然

二项式分布的最大熵解等价于二项式指数形式(sigmoid)的最大似然;
多项式分布的最大熵等价于多项式分布指数形式(softmax)的最大似然。

假设分布求解最大熵,引入拉格朗日函数,求偏导数等于0,直接求出的就是sigmoid函数形式。还有很多指数簇分布都有对应的最大似然解。而单个指数簇分布往往表达能力有限,这就需要引入了多个指数簇分布的混合模型,比如高斯混合,从而引出EM算法。

Logistic Regression的理论部分讲的差不多了,下一篇文章将介绍Logistic Regression的并行化 工程问题。敬请期待…

Please feel free to contact me if you have any questions.


参考文献

[1]. 李航,《统计学习方法》 
[2]. John Mount. *"The equivalence of logistic regression and maximum entropy models"*
[3]. http://tech.meituan.com/intro_to_logistic_regression.html
[4]. http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995
[5]. http://www.tuicool.com/articles/auQFju

Logistic Regression 的前世今生(理论篇)

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