[ACM] POJ 3252 Round Numbers (一个区间内二进制中0的个数大于等于1的个数有多少个，组合）

标签：acm   组合数学   

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2 12

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6

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题意为在一个闭区间内，有多少个数它的二进制中0的个数大于等于1的个数。

总体思路为： 比如求 [2,12],  我们就求 （0,12] -（0,1]。这样问题就转化为了 求（0,n]之间有多少个符合题意的数。

以下转载为：http://hi.baidu.com/ycdoit/item/6f64473c54a88f607d034b7f

[2,12]区间的RoundNumbers（简称RN）个数:Rn[2,12]=Rn[0,12]-Rn[0,1]
 即：Rn[start,finish]=Rn[0,finish]-Rn[0,start-1]
 所以关键是给定一个X，求出Rn[0,X]
 现在假设X=10100100 
 这个X的二进制总共是8位，任何一个小于8位的二进制都小于X
 第一部分，求出长度为[0,7]区间内的二进制是RoundNumber的个数
  对于一个长度为Len的二进制(最高位为1)，如何求出他的RoundNumbers呢（假设为用R(len)来表达），分为奇数和偶数两种情况
  1、奇数情况：在Len=2k+1的情况下，最高位为1，剩下2k位，至少需要k+1为0
   用C(m,n)表示排列组合数：从m个位置选出n个位置的方法
   R(len)=C(2k,k+1)+C(2k,k+2)+...+C(2k,2k).
   由于 A：C(2k,0)+C(2k,1)+...+C(2k,2k)=2^（2k）
     B:C(2k,0)=C(2k,2k), C(2k,1)=C(2k,2k-1) ,,C(2k,i)=C(2k,2k-i)
   于是  C(2k,0)+C(2k,1)+...+C(2k,2k)
    = C(2k,0)+C(2k,1)+...+C(2k,k)+C(2k,k+1)+C(2k,K+2)+...+C(2k,2k)
    = 2*R(len)+C(2k,k)
    =2^(2k)
    所以R(len)=1/2*{2^(2k)-C(2k,k)};
  2. 偶数情况 len=2*k，类似可以推到 R(len)=1/2*(2^(2k-1));
 第二部分，对于上面这个长度为8的例子:即X=10100100，首先如果本身是RoundNumbers，第二部分的结果总数+1
  第一部分已经将长度小于8的部分求出。现在要求长度=8的RoundNumber数目
  长度为8，所以第一个1不可改变
  现在到第二个1，如果Y是前缀如100*****的二进制，这个前缀下，后面取0和1必然小于X，已经有2个0，一个1，剩下的5个数字中至少需要2个0，
   所以把第二个1改为0：可以有C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5)
  现在第三个1，也就是前最为101000**，同样求出，至少需要0个0就可，所以有C(2,0)+C(2,1)+C(2,2)个RoundNumbers
  。。。
  将所有除了第一个1以外的1全部变为0，如上算出有多少个RoundNumbers，结果相加（由于前缀不一样，所以后面不管怎么组合都是唯一的）

 将第一部分和第二部分的结果相加，就是最后的结果了。
 精度要求方面，用int就可以了：two billion=20亿<2*1024*1024*1024=2^31，需用31位来表示数组，由于第一位总是1，所以求组合数的时候最多求30，C(30,k),k取值区间是[0,30],因为C(k,i)<2^k，所以结果用int表示就可以

参考：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/22/2651730.html

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
int c[32][32];
int b[32];

void getCom()
{
    memset(c,0,sizeof(c));
    c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=30;i++)
    {
        c[i][i]=c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    }
}

int cal(int n)
{
    if(n<=1)//注意正整数，0不是round number
        return 0;
    int bit=0;
    int temp=n;
    int ans=0;

    while(temp)//b[]保存每一位二进制数，一共bit位
    {
        b[bit++]=temp%2;
        temp/=2;
    }

    for(int i=bit-1;i>=1;i--)//位数比当前数少一位的round number
    {
        if(i%2==0)
            ans+=(1<<(i-1))/2;
        else
            ans+=((1<<(i-1))-c[i-1][(i-1)/2])/2;
    }

    int num0=0,num1=0;
    for(int i=0;i<bit;i++)//判断自身
        if(b[i])
            num1++;
        else
            num0++;
    if(num0>=num1)
        ans++;

    num0=0;num1=1;
    for(int i=bit-2;i>=0;i--)
    {
        if(b[i]==0)
            num0++;
        else
        {
            num1++;
            for(int k=i;k>=0&&k+num0+1>=i-k+num1-1;k--)//k是选择0的个数，总共0的个数要大于等于1的个数
                ans+=c[i][k];
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    getCom();
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<cal(b)-cal(a-1)<<endl;
    return 0;
}

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原文地址：http://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/38034113