机器学习 F1-Score, recall, precision

在机器学习，模式识别中，我们做分类的时候，会用到一些指标来评判算法的优劣，最常用的就是识别率，简单来说，就是

$$Acc=N_{pre}/N_{total}$$
这里的 $N_{pre}$表示预测对的样本数，$N_{total}$表示测试集总的样本数。

识别率有的时候过于简单， 不能全面反应算法的性能，除了识别率，还有一些常用的指标，就是我们要介绍的
F1-score, recall, precision.

在介绍这些概念之前，我们先来看一个二分类的问题，给定一组训练集：

$$D=\{ (x_{i}, y_{i}) | x_{i} \in R^{n}, y_{i} \in \{0, 1\} \}_{i=1}^{N}$$
这里假定 $y_{i}=1$ 对应正样本，$y_{i}=0$ 对应负样本。假设我们建立了一个分类模型 $H$, 对每一个输入的样本 $x_{i}$ 会输出一个预测值 $H(x_{i})$, 那么将预测值 $H(x_{i})$ 与样本对应的实际值$y_{i}$做比较，会得到以下四种情况：

$H(x_{i})=1, y_{i}=1$
$H(x_{i})=1, y_{i}=0$
$H(x_{i})=0, y_{i}=1$
$H(x_{i})=0, y_{i}=0$

第一种情况，预测为正，实际也为正，我们称为 true positive (TP)，第二种情况，预测为正，实际为负，我们称为 false positive (FP)，第三种情况，预测为负，实际为正，称为false negative (FN)，最后一种情况，预测为负，实际也为负，称为 true negative (TN)，每一个样本只可能属于这四种情况中的某一种，不会有其它的可能。
很显然，给定一个测试集，我们可以得到如下的关系：

$$N_{pre}=TP+TN$$
$$N_{total}=TP+TN+FP+FN$$
如果我们定义一个测试集中，正样本个数为$P$, 负样本个数为$N$, 那么我们可以知道：$P=TP+FN$, $N=TN+FP$
所以，我们常用的识别率 $acc$ 其实就等于
$$Acc=\frac{TP+TN}{TP+TN+FP+FN}=\frac{TP+TN}{P+N}$$ ，
进一步，我们可以定义 recall ，precision， F1-score 如下所示：
$$Recall=\frac{TP}{TP+FN}= \frac{TP}{P}$$
$$Precision=\frac{TP}{TP+FP}$$
$$F1=\frac{2TP}{2TP+FN+FP}=\frac{2 \cdot Precision \cdot Recall}{Precision+Recall}$$

可以看到，recall 体现了分类模型$H$对正样本的识别能力，recall 越高，说明模型对正样本的识别能力越强，precision 体现了模型对负样本的区分能力，precision越高，说明模型对负样本的区分能力越强。F1-score 是两者的综合。F1-score 越高，说明分类模型越稳健。

比如我们常见的雷达预警系统，我们需要对雷达信号进行分析，判断这个信号是飞行器（正样本）还是噪声 （负样本）, 很显然，我们希望系统既能准确的捕捉到飞行器信号，也可以有效地区分噪声信号。所以就要同时权衡recall 和 precision这两个指标，如果我们把所有信号都判断为飞行器，那 recall 可以达到1，但是precision将会变得很低（假设两种信号的样本数接近），可能就在 0.5 左右，那F1-score 也不会很高。

有的时候，我们对recall 与 precision 赋予不同的权重，表示对分类模型的偏好：

$$F_{\beta}=\frac{(1+\beta^{2})TP}{(1+\beta^{2})TP+\beta^{2}FN+FP}=\frac{(1+\beta^{2}) \cdot Precision \cdot Recall}{\beta^{2} \cdot Precision+Recall}$$

可以看到，当 $\beta=1$，那么$F_{\beta}$就退回到$F1$了，$\beta$ 其实反映了模型分类能力的偏好，$\beta>1$ 的时候，precision的权重更大，为了提高$F_{\beta}$，我们希望precision 越小，而recall 应该越大，说明模型更偏好于提升recall，意味着模型更看重对正样本的识别能力； 而 $\beta<1$ 的时候，recall 的权重更大，因此，我们希望recall越小，而precision越大，模型更偏好于提升precision，意味着模型更看重对负样本的区分能力。

参考来源：
https://en.wikipedia.org/wiki/Receiver_operating_characteristic
https://en.wikipedia.org/wiki/F1_score