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 The Staircases

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Sample

Problem Source: Ural State University Internal Contest ‘99 #2

思路分析：

首先声明一下，经过这道题我真的收获很多，包括对递归处理问题易爆栈而且容易超时有了一定程度的认识。而且自己有扩展了数论的知识，确实是一道好题。

我们首先要学习一个数论知识：

这道题目涉及到数的分划，属于组合数学和数论的研究领域。

数 n 的分划(partition)是将 n 表示成任意多个正整数之和的形式。例如，数 5 的分划如下：

1. 5
2. 4 + 1
3. 3 + 2
4. 3 + 1 + 1
5. 2 + 2 + 1
6. 2 + 1 + 1 + 1
7. 1 + 1 + 1 + 1 + 1

用 p(n) 来记 n 的分划的个数，这样就有 p(5) = 7。

为了求解 p(n)，我们引入一个中间函数 p(k, n)，表示数 n 的最小被加数不小于 k 的分划的个数。对于给定的 k 值，p(k, n) 正好分为以下两类：

1. 最小被加数等于 k
   
2. 最小被加数大于 k
   

满足第一个条件的分划的个数是 p(k, n − k)。 这是因为，让我们想象数 n − k 的最小被加数不小于 k 的分划，然后将 "+ k" 附加每一个分划后面，就得到数 n 的最小被加数等于 k 的分划。以 n = 5, k = 1 为例，数 4 的最小被加数不小于 1 的分划是 4、3 + 1、2 + 2、2 + 1 + 1 和 1 + 1 + 1 + 1，即 p(k, n − k) = p(1, 4) = 5。然后，将"+ 1" 附加在这 5 个分划后面，就得到数 5 的最小被加数等于 1 的分划：4 + 1、3 + 1 + 1、2 + 2 + 1、2 + 1 + 1 + 1 和 1 + 1 + 1 + 1 + 1。

满足第二个条件的分划的个数是 p(k + 1, n) 。以 n = 5, k = 1 为例，数 5 的最小被加数大于 1 的分划是 5 和 3 + 2，即 p(k + 1, n) = p(2, 5) = 2。

也就是说，p(1, 5) = p(2, 5) + p(1, 4)。因此：

• p(k, n) = 0  如果 k > n

• p(k, n) = 1  如果 k = n

• p(k, n) = p(k+1, n) + p(k, n-k)  其它情况

这样，就可以递归地求解 p(k, n)，其部分值见下表：

最后，p(n) = p(1, n)。

现在，让我们的来考虑 将 n 分成不相等的正整数之和的分划。例如，数 8 的分划如下：

1. 8
2. 7 + 1
3. 6 + 2
4. 5 + 3
5. 5 + 2 + 1
6. 4 + 3 + 1

用 q(n) 来记 n 的分划的个数，这样就有 q(8) = 6。

为了求解 q(n)，我们引入一个中间函数 q(k, n)，表示数 n 的最小被加数不小于 k 的分划的个数。对于给定的 k 值，q(k, n) 正好分为以下两类：

1. 最小被加数等于 k
   
2. 最小被加数大于 k
   

满足第一个条件的分划的个数是 q(k + 1, n − k)。 这是因为，让我们想象数 n − k 的最小被加数大于 k 的分划，然后将 "+ k" 附加每一个分划后面，就得到数 n 的最小被加数等于 k 的分划。以 n = 8, k = 1 为例，数 7 的最小被加数大于 1 的分划是 7、5 + 2 和 4 + 3，即 q(k + 1, n − k) = q(2, 7) = 3。然后，将 "+ 1" 附加在这 3 个分划后面，就得到数 8 的最小被加数等于 1 的分划：7 + 1、5 + 2 + 1 和 4 + 3 + 1。

满足第二个条件的分划的个数是 q(k + 1, n) 。以 n = 8, k = 1 为例，数 8 的最小被加数大于 1 的分划是 8、6 + 2 和 5 + 3，即 q(k + 1, n) = q(2, 8) = 3。

也就是说，q(1, 8) = q(2, 8) + q(2, 7)。因此：

• • q(k, n) = 0  如果 k > n
  • q(k, n) = 1  如果 k = n
  • q(k, n) = q(k+1, n) + q(k + 1, n-k)  其它情况

这样，就可以递归地求解 q(k, n)，其部分值见下表：

最后，q(n) = q(1, n)。

了解到这里，我们便可以得到递推公式：

• q(k, n) = 0  如果 k > n

• q(k, n) = 1  如果 k = n

• q(k, n) = q(k+1, n) + q(k + 1, n-k)  其它情况

下面我讲讲自己在写代码时出现的问题，自己一开始直接运用的递归公式求解，不仅慢，而且容易出错。

下面我就自己的一段代码拿出来分析分析：

 1 long long  mean(int n,int k)
 2 {
 3     for(int i=1;i<=n;i++)
 4     {
 5         f[i][i]=1;//递归结束条件
 6         for(int j=i+1;j<maxn;j++)
 7         f[i][j]=0;//递归结束条件，这是写递归函数必备要素
 8     }
 9     for(int i=2;i<=n;i++)
10     for(int j=i-1;j>=1;j--)
11     f[i][j]=f[i][j+1]+f[i-j][j+1];//这里是重点，我们的递推公式是：f(n,k)=f(n,k+1)+f(n-k,k+1)。因为n是由大到小，所以我们在第一个for循环中必须由小到大写，而k是由小到大，所以我们必须把第二个循环按照由大到小的顺序写
12     return f[n][k];//注意返回值得书写
13 }

这段代码可以保存上一次计算的值，所以计算速度很快，而直接递归的话速度则很慢，需要宠妃计算很多次。下面看看直接递归的代码如何写：

1 long long mean(int n,int k)
2 {
3     if(n==k) return 1;
4     else if(n<k) return 0;
5     else return (mean(n,k+1)+mean(n-k,k+1));
6 }

AC代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
#define maxn 505
long long  f[maxn][maxn];
long long  mean(int n,int k)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][i]=1;
        for(int j=i+1;j<maxn;j++)
        f[i][j]=0;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    for(int j=i-1;j>=1;j--)
    f[i][j]=f[i][j+1]+f[i-j][j+1];//这里是重点
    return f[n][k];
}
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        if(n==0) break;
        cout<<mean(n,1)-1<<endl;
    }
    return 0;
}

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原文地址：http://www.cnblogs.com/khbcsu/p/3862603.html