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对数的计算公式

时间：2016-01-18 12:13:09      阅读：157      评论：0      收藏：0      [点我收藏+]

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性质编辑

①
 技术分享 
；
②
 技术分享 
；
③负数与零无对数.
④
 技术分享 
*
 技术分享 
=1；

恒等式及证明

a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）
推导：log(a) (a^N)=N
恒等式证明
在a>0且a≠1，N>0时
设：当log(a)(N)=t，满足(t∈R)
则有a^t=N;
a^(log(a)(N))=a^t=N;
证明完毕

运算法则编辑

①
 技术分享
②
 技术分享
③
 技术分享
(M,N∈R)
如果
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，则m为数a的自然对数，即
 技术分享 
，e=2.718281828…为自然对数
的底。定义： 若
 技术分享 
则
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基本性质：
1、
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2、
 技术分享
3、
 技术分享
4、
 技术分享
5、
 技术分享
推导：
1、因为
 技术分享 
，代入则
 技术分享 
，即
 技术分享 
。
2、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
技术分享
由指数的性质
技术分享
又因为指数函数是单调函数，所以
技术分享
3、与（2）类似处理 M/N=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
技术分享
由指数的性质
技术分享
又因为指数函数是单调函数，所以
技术分享
4、与（2）类似处理
由基本性质1(换掉M)
技术分享
由指数的性质
技术分享
又因为指数函数是单调函数，所以
技术分享
或
由基本性质2（展开
 技术分享 
，如图所示）
技术分享对数基本性质4推导过程
基本性质4推广
技术分享
推导如下： 由换底公式（见下面）[
 技术分享 
是
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，e称作自然对数的底]
技术分享
换底公式的推导： 设
 技术分享 
则
技术分享
其中
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得：
 技术分享
由基本性质4可得
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再由换底公式
 技术分享

换底公式编辑

设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①
对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..②
对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③
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③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)
注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。
换底公式拓展：
以e为底数和以a为底数的公式代换：
logae=1/（lna）

推导公式编辑

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)
loga(b)*logb(a)=1

求导数编辑

(xlogax)‘=logax+1/lna
其中，logax中的a为底数，x为真数；
(logax)‘=1/xlna
特殊的即a=e时有
(logex)‘=(lnx)‘=1/x

对数的计算公式

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原文地址：http://www.cnblogs.com/ransn/p/5138643.html
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