fzu 1015 土地划分（判断线段相交+求出交点+找规律）

时间：2014-07-23 16:58:41 阅读：348 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

链接：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1015

Problem 1015 土地划分

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Problem Description

在Dukeswood这块土地上生活着一个富有的农庄主和他的几个孩子。在他临终时，他想把他的土地分给他的孩子。他有许多农场，每个农场都是一块矩形土地。他在农场地图上划上一些直线将矩形分成若干块。当他划直线时，他总是从矩形边界上的某一点划到另一个矩形边界上的点，这条线的结束点将成为下一条线的起始点。他划线时从不会让任三线共点。例如图1是某一种划分结果。

图1

划分的起始点和结束点均以五角星标记。当他完成划分后，他想要数一下划出的土地的块数以确保每个孩子都有一块地。例如，图1中土地被划分成18块。然而这个庄主由于年迈常会数错，因而他寻求你的帮助。

请写一个程序，输入原来的土地尺寸及线段的位置，输出划分出的土地块数。

Input

输入文件有多组数据组成。每组数据格式如下：
第一行输入地图的宽度w (1<=w<=1000)和高度 h (1<=h<=1000)，均为整数。
第二行输入线段数L (1<=L<=50)。
以下L+1行每行一个整数坐标(Xi,Yi)，庄主划的线段为(Xi,Yi)-(Xi+1,Yi+1)，i=1,2,…,L。当然(Xi,Yi)必定在矩形的边界上。
最后一组数据w=h=0，标志文件结束，不需要处理。

Output

对于给定的输入，输出一行仅含一个数，即划分出的土地块数。

Sample Input

18 12

2 0

6 12

10 0

18 9

15 12

0 6

14 0

10 12

0 9

7 6

2 0

5 6

7 3

0 3

3 0

3 6

0 5

0 0

Sample Output

/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。

看到此题，可联想到组合几何中的一个问题，求平面上n条直线最多可以将平面分成多少块

首先分析直线划分区域的情况，根据已知的结论：平面上的n条直线最多可以将平面分成 f ( n )个区域，其中 f(n)=(n^2+n+2)/2.

实际上，重点是讨论如何得出这个结论的过程

方法————数学归纳法

当n=1时，f(1)=(1^2+1+2)/2=2显然成立，即一条直线把平面分成两个区域。

-----------------------------------------------------------------------------------

假设，对所有的n<k的n，均有f(n)=(n^2+n+2)/2。考虑ｎ=k

新的直线L做多可以和原来的n-1条直线有n-1个交点，这n-1个交点将直线分成了n段，其中

ｎ－２段为线段，两段为射线。这ｎ段线将其所在的ｎ个区域一分为二，这样就增加了ｎ个

区域，所以f(n)=f(n-1)+n。再由归纳假设，f(n-1)=((n-1)^2+(n-1)+2)/2，因而有：

f(n)=((n-1)^2+(n-1)+2)/2+n=(n^2+n+2)/2

因此，对所有的正整数ｎ，均有f(n)=(n^2+n+2)/2

-----------------------------------------------------------------------------------

具体推导过程看这里吧：http://wenku.baidu.com/view/15733b0b79563c1ec5da71cf.html

经过推导，可以得出结论，f(L)=1+T+L

就是不在矩形边上的交点个数T+线段的条数L+1即为答案

下面给出代码：

  1 #include <stdio.h>
  2 #include <string.h>
  3 #include <stdlib.h>
  4 #include <math.h>
  5 #include <iostream>
  6 #include <algorithm>
  7 #define eps 1e-6
  8 
  9 struct point
 10 {
 11     double x,y;
 12 };
 13 
 14 struct beline
 15 {
 16     point a,b;
 17 };
 18 
 19 using namespace std;
 20 
 21 point p[5000];
 22 
 23 bool dy(double x,double y)
 24 {
 25     return x > y+eps;
 26 }
 27 bool xy(double x,double y)
 28 {
 29     return x < y-eps;
 30 }
 31 bool xyd(double x,double y)
 32 {
 33     return x < y+eps;
 34 }
 35 bool dyd(double x,double y)
 36 {
 37     return x > y-eps;
 38 }
 39 double dd(double x,double y)
 40 {
 41     return fabs(x-y) < eps;
 42 }
 43 
 44 double crossProduct(point a,point b,point c)
 45 {
 46     return (c.x-a.x)*(b.y-a.y)-(c.y-a.y)*(b.x-a.x);
 47 }
 48 
 49 bool onSegment(point a,point b,point c)
 50 {
 51     double maxx=max(a.x,b.x);
 52     double maxy=max(a.y,b.y);
 53     double minx=min(a.x,b.x);
 54     double miny=min(a.y,b.y);
 55     if(dd(crossProduct(a,b,c),0.0)&&dyd(c.x,minx)&&xyd(c.x,maxx)
 56         &&dyd(c.y,miny)&&xyd(c.y,maxy))
 57         return true;
 58     return false;
 59 }
 60 
 61 bool segIntersect(point p1,point p2,point p3,point p4)
 62 {
 63     double d1 = crossProduct(p3,p4,p1);
 64     double d2 = crossProduct(p3,p4,p2);
 65     double d3 = crossProduct(p1,p2,p3);
 66     double d4 = crossProduct(p1,p2,p4);
 67     if(xy(d1*d2,0.0)&&xy(d3*d4,0.0))
 68         return true;
 69     if(dd(d1,0.0)&&onSegment(p3,p4,p1))
 70         return true;
 71     if(dd(d2,0.0)&&onSegment(p3,p4,p2))
 72         return true;
 73     if(dd(d3,0.0)&&onSegment(p1,p2,p3))
 74         return true;
 75     if(dd(d4,0.0)&&onSegment(p1,p2,p4))
 76         return true;
 77     return false;
 78 }
 79 
 80 point intersectpoint(beline u,beline v)
 81 {
 82     point ans=u.a;
 83     double t = ((u.a.x-v.a.x)*(v.a.y-v.b.y)-(u.a.y-v.a.y)*(v.a.x-v.b.x))/
 84     ((u.a.x-u.b.x)*(v.a.y-v.b.y)-(u.a.y-u.b.y)*(v.a.x-v.b.x));
 85     ans.x+=(u.b.x-u.a.x)*t;
 86     ans.y+=(u.b.y-u.a.y)*t;
 87     return ans;
 88 }
 89 int main()
 90 {
 91     int n,m,i,j,k;
 92     beline li[55];
 93     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&n||m)
 94     {
 95         scanf("%d",&k);
 96         for(i=0;i<=k;i++)
 97         {
 98             scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
 99         }
100         for(i=0;i<k;i++)
101         {
102             li[i].a.x=p[i].x;
103             li[i].a.y=p[i].y;
104             li[i].b.x=p[i+1].x;
105             li[i].b.y=p[i+1].y;
106         }
107 
108         int sum=0;
109         for(i=0;i<k;i++)
110         {
111             for(j=i+1;j<k;j++)
112             {
113                 if(segIntersect(li[i].a,li[i].b,li[j].a,li[j].b))
114                 {
115                     point tmp;
116                     tmp=intersectpoint(li[i],li[j]);
117                     if(dy(tmp.x,0.0)&&xy(tmp.x,(double)n)&&dy(tmp.y,0.0)&&xy(tmp.y,(double)m))
118                     {
119                         sum++;
120                     }
121                 }
122             }
123         }
124         printf("%d\n",sum+k+1);
125     }
126     return 0;
127 }