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在数学中，函数通常用式子 y=f(x) 来表示。f 是英语单词 function中的f , 是“功能”或者“作用”的意思。 说白了就是使用f给x施加某种规则或关系，进而推导出y。
函数可以用来表示“因果”，表示“变化”规则。
比如把 x 当作母鸡，f(x)可能出来的就是小鸡鸡了。当然了，不同的f会有不同的结果，说不定结果是个鸡蛋呢。
我们生活中到处都有函数，声速和气温的关系，山高和气温的关系，奖金和营业额的关系，各种计数单位的转换规则等等。
计算机采用二进制法（0，1）处理后的信息，x比特所表示的信息量为y，则 y = b(x) = 2x ， 画成图形的话，就是指数函数。
在画图时，也存在即不能用直线也不能用特定形状的曲线来表示的函数。比了股票走势图。
函数组合在一起之后称为“复合函数”。 我们能够通过复合函数将因果关系扩展到更广阔的范围。
x –> [ f ] –> f(x) –> [ g ] — g(f(x))
g(f(x)) 即 f 和 g 的复合函数。
生活中也会用得到的函数
某饮料生产大户S公司，其董事为了提高该公司畅销商品的利润，是要增加还是减少广告播出时间呢？ 该公司每个月电视广告播放时间设为 x 小时， x 小时的广告所带来的商品销售额的利润可以表示为 f(x) = 20√x 元。 现在，S公司一个月累计播放广告4小时。
由此可知， f(4) = 20√4 = 40 亿元， 即每月4小时广告带来了40亿元的利润。 这里，依照广告播放合约， 每分钟1000万元。
上面这个问题，看起来不能通过简单的计算得到答案了吧？
假设以当前的广告播放时间、利润作为一个点y， 广告时间为x, 那么要增加销售额利润，到底是要增加x , 还是减少 x呢？
y = f(x)
f(4) = 40亿元 ,
假设 e 是我们需要增减时间，利润的变化为 g(x)， 则下式成立
(f( 4 + e) – f(4)) / e = g(4)
当e= 0时，实际上就是 (f(4+0) – f(4) / 0 = g(4) = 0;
也就是说，时间不变时，利润的变化为0。
(f( 4 + e) – f(4)) / e 可以通过下面的变化转为近似函数g(x)：
=(20√4+e – 20√4) / e
=(20√4+e – 20 * 2) / e
=20* ( ((( (√4+e)-2) * ( (√4+e)+2) ) / e * (( (√4+e)+2 ) )
=20 / ((√4+e) + 2)
当e = 0时，分母 ((√4+e) + 2) = 4, 于是有 20 / 4 = 5。
所以，近似一次函数 g(x) = 5(x-4)+40 = 5x + 20
我们要增加利润， 需要改变x的值， 改变多少？ 如果x变化得太大， 比如像1小时，那么 f(x) 和g(x)就会相差甚远， 这样的近似就没有意义了。实际上，即便是广告的播放时间要有所增减，那也是少许的一点点时间而已。
比方说，考虑增减6分钟（0.1小时），这种变化程度比较小的情况下，误差率也会比较小，那么这个近拟才会有效。
g(x) 中x的系数为5， 表示播放时长每增加1小时，就会带来5亿元的收入，所以仅增加6分钟的话，就会带来0.5亿来的收入。同时，广告时间6分钟需要6 * 0.1 = 0.6亿元广告费。
反过来说，少播放6分钟广告，就损失约0.5亿元利润， 但可以少支付0.6亿元广告费。这么说来…
答案就是。。。
做出了减少广告播放时间的决定！
实际上，上面例子中的东西已经是微积分中的玩意了，有点复杂。。。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/yangyxd/p/5146755.html
