码迷,mamicode.com
首页 > 其他好文 > 详细

费马小定理&欧拉定理

时间:2016-01-27 14:33:17      阅读:160      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:

p是素数的情况下,对任意整数x都有xpx(mod p)。这个定理被称作费马小定理其中如果x无法被p整除,我们有xp-11(mod p)。利用这条性质,在p是素数的情况下,就很容易求出一个数的逆元。那上面的式子变形之后得到a-1ap-2(mod p),因此可以通过快速幂求出逆元

我们先来证明一下费马小定理:

费马小定理证明:

 

一、准备知识

 

引理1:剩余系定理2

 

a,b,c为任意3个整数,m为正整数,(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m),a≡b(mod m)
证明:ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1m,c互质,c可以约去,a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)

 

引理2:剩余系定理5

 

m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]m个整数,若在这m个数中任取2个整数对m不同余,则这m个整数对m构成完全剩余系.
证明:构造m的完全剩余系(0,1,2,…m-1,所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余.r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1<i<=m.(1)a[1]≡r[1](mod m)(顺序可以不同),因为只有在这种情况下才能保证集合{a1,a2,a3,a4,…am}中的任意2个数不同余,否则必然有2个数同余.由式(1)自然得到集合{a1,a2,a3,a4,…am}m构成完全剩余系.

 

引理3:剩余系定理7
m是一个整数,m>1,b是一个整数且(m,b)=1.如果a1,a2,a3…am是模m的一个完全剩余系,ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系.
证明:若存在2个整数baba[j]同余即ba≡ba[j](mod m),根据引理2则有a≡a[j](mod m).根据完全剩余系的定义和引理4(完全剩余系中任意2个数之间不同余,易证明)可知这是不可能的,因此不存在2个整数baba[j]同余.由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系.

 

引理4:同余定理6
如果a,b,c,d是四个整数,a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m)
证明:由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m),由模运算的传递性可得ac≡bc(mod m)

 


二、证明过程:
构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p-1)},因为(a, p)=1,由引理3可得A={a,2a,3a,4a,…(p-1)a}也是p的一个完全剩余系.W=1*2*3*4…*(p-1),显然W≡W(mod p).Y=a*2a*3a*4a*…(p-1)a,因为{a,2a,3a,4a,…(p-1)a}p的完全剩余系,由引理2以及引理4可得a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)W*a^(p-1)≡W(modp).易知(W,p)=1,由引理1可知a^(p-1)≡1(mod p

 

补充:在p不是素数的情况下,我们也有类似的欧拉定理可以使用。欧拉函数是技术分享然后再有欧拉定理技术分享我们就可以得到乘法逆元。

 

欧拉定理:

 

一、准备知识:

 

欧拉函数:在数论中,对于正整数n,欧拉函数是小于n的数与n互质的数的数目。Φ(m)=m×П(pi-1)/pi

 

证明:先给出任意的正整数n=p1a[1]*p2a[2]*……*pka[k]

 

然后用容斥原理,首先从总数n中减去n/p1n/p2,……n/pk的个数然后再加上同时是两个素因子的倍数的个数,再减去同时是三个素因子的倍数的个数……这样我们就可以得到一个公式:技术分享

 

 

 

现在有了公式,可是这个公式的时间复杂度是O(2k),所以我们需要对其进行化简,这步并不简单,但最后可以化简出         技术分享

 

二、证明

 

aφ(n) * x1 * x2 *... * xφ(n) mod n ≡ (a * x1) * (a * x2) * ... * (a * xφ(n)) mod n

 

≡ (a * x1 mod n) * (a * x2 mod n) * ... * (a * xφ(n) mod n) mod n
≡  x
1 * x2 * ... * xφ(n) mod n
对比等式的左右两端,因为xi  (1 ≤ i ≤ φ(n)) n 互质,所以 aφ(n) ≡  1 (mod n)

 

费马小定理&欧拉定理

标签:

原文地址:http://www.cnblogs.com/543Studio/p/5163072.html

(0)
(0)
   
举报
评论 一句话评论(0
登录后才能评论!
© 2014 mamicode.com 版权所有  联系我们:gaon5@hotmail.com
迷上了代码!