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2014多校第一场J题 || HDU 4870 Rating(DP || 高斯消元)

时间:2014-07-24 10:04:53      阅读:396      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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题意 :小女孩注册了两个比赛的帐号,初始分值都为0,每做一次比赛如果排名在前两百名,rating涨50,否则降100,告诉你她每次比赛在前两百名的概率p,如果她每次做题都用两个账号中分数低的那个去做,问她最终有一个账号达到1000分需要做的比赛的次数的期望值。

思路 :可以直接用公式推出来用DP做,也可以列出210个方程组用高斯消元去做。

(1)DP1:离散化。因为50,100,1000都是50的倍数,所以就看作1,2,20。这样做起来比较方便。

定义dp[i]为从 i 分数到达i+1分的期望,状态转移方程:

 dp[i] = p+(1-p)*(1+dp[i-2]+dp[i-1]+dp[i]); 在前两百名里增加一分,当不在前两百名里的时候,扣两分,要回到 i+1 分就是1+dp[i-2]+dp[i-1]+dp[i].

mp[i][i]表示两个账号都从0分涨到 i 分的期望,所以mp[i+1][i] = mp[i][i]+dp[i], mp[i+1][i+1] = mp[i+1][i]+dp[i];

bubuko.com,布布扣
 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <string.h>
 4 #include <math.h>
 5 
 6 using namespace std ;
 7 
 8 double dp[21],mp[21][21] ;
 9 
10 int main()
11 {
12     double p ;
13     while(scanf("%lf",&p) != EOF)
14     {
15         dp[0] = 1 / p ;
16         dp[1] = 1 / p / p ;
17         for(int i = 2 ; i < 20 ; i++)
18             dp[i] = 1 + (1-p)*(dp[i-2]+dp[i-1]+1)/p ;
19         for(int i = 0 ; i < 20 ; i++)
20         {
21             mp[i+1][i] = mp[i][i]+dp[i] ;
22             mp[i+1][i+1] = mp[i+1][i] + dp[i] ;
23         }
24         printf("%.6lf\n",mp[20][19]) ;
25     }
26     return 0 ;
27 }
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(2)DP2:在网上看了一个线性的复杂度的,here,推公式很厉害。

先考虑一场比赛的情况,定义dp[k]为当前为k分,要达到20分时的期望回合数。

那么显然有 dp[0]=1+p*dp[1]+q*dp[0] 化简得 dp[0]=1/p+dp[1]

               dp[1]=1+p*dp[2]+q*dp[0] 化简得 dp[0]=1/p+1/p^2+dp[2]

我们令  dp[0]=t[k]+dp[k] 那么t[k]就表示由0状态到达k状态所需的期望回合数。如果是要到达20分就是t[20]。

得到dp[k]=1+p*dp[k+1]+(1-p)*dp[k-2] 

将dp[k]=dp[0]-t[k]和dp[k-2]=dp[0]-t[k-2]代入得 : 

dp[0]=1/p+t[k]/p-(1-p)/p*t[k-2]+dp[k+1]  

然后代入dp[k+1]=dp[0]-t[k+1]得:

t[k+1]=1/p+1/p*t[k]-(1-p)/p*t[k-2]

边界条件是  t[0]=0,t[1]=1/p,t[2]=1/p+1/p^2  

知道这些就可以递推出所有需要的t[k]了。

因为是两个账号,所以变化一定是(0,0)——>(1,0)——>(1,1)——>……(19,18)——>(19,19)——>(20,19)

(0,0)->(0,1)需要的期望回合数是t[1]-t[0].  (0,1)->(1,1)需要的期望回合数是 t[1]-t[0]

(1,1)->(1,2)需要的期望回合数是t[2]-t[1].  (1,2)->(2,2)需要的期望回合数是 t[2]-t[1].

....

(18,18)->(18,19)需要的期望回合数是t[19]-t[18]. (18,19)->(19,19)需要的期望回合数是t[19]-t[18].  

(19,19)->(19,20)需要的期望回合数是t[20]-t[19]。

全部加起来的结果就是t[19]*2+t[20]-t[19].

所以最后的复杂度可以是线性的,而且理论上对于k个账号也是适用的,这样就可以避开了高斯消元的做法了。

bubuko.com,布布扣
 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <string.h>
 4 #include <math.h>
 5 
 6 using namespace std ;
 7 
 8 double d[21] ;
 9 
10 int main()
11 {
12     double p ;
13     while(scanf("%lf",&p) != EOF)
14     {
15         d[0] = 0 ;
16         d[1] = 1 / p ;
17         d[2] = 1 / p + 1 / (p * p) ;
18         for(int i = 3 ; i <= 20 ; i++)
19             d[i] = 1 / p + d[i-1] / p +(p - 1)*d[i-3] / p ;
20         printf("%.6lf\n",d[19] + d[20]) ;
21     }
22     return 0 ;
23 }
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(3)高斯消元:

官方题解:

令(x, y)表示高分为x,低分为y的状态(x >= y),E(x, y)表示从(x, y)到达(1000, ?)的比赛场数期望。容易得到E(x, y) = P * E(x1, y1) + (1 - P) * E(x2, y2) + 1,其中,(x1, y1)表示rating上升后的状态,(x2, y2)表示rating下降后的状态。每50分一个状态,共有210个状态(21*20/2)。

移项后得E(x, y) -P * E(x1, y1) - (1 - P) * E(x2, y2) = 1,共有210个这样的方程组。高斯消元求解,x[0]代表E(0,0)这个状态到目标状态的期望。

注意精度。

bubuko.com,布布扣
 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <iostream>
 4 #include <math.h>
 5 
 6 using namespace std ;
 7 
 8 const double eps = 1e-9 ;
 9 
10 double p,mp[250][250] ;
11 int vis[25][25] ;
12 
13 double Gauss()
14 {
15     for(int i = 0 ; i < 210 ; i++)
16     {
17         int k ;
18         for(k = i ; k < 210 ; k++)
19             if(fabs(mp[k][i]) > eps) break ;
20         for(int j = 0 ; j <= 210 ; j++)
21             swap(mp[i][j],mp[k][j]) ;
22         for(int j = 0 ; j < 210 ; j++)
23         {
24             if(i != j)
25             {
26                 if(fabs(mp[j][i]) > eps)
27                 {
28                     double s = mp[j][i] / mp[i][i] ;
29                     for(int k = i ; k <= 210 ; k++)
30                         mp[j][k] -= mp[i][k] * s ;
31                 }
32             }
33         }
34     }
35     return mp[0][210]/mp[0][0]  ;
36 }
37 
38 void pro()
39 {
40     for(int i = 0 ; i < 20 ; i++)
41     {
42         for(int j = 0 ; j < i ; j ++)
43         {
44             int u = vis[i][j] ;
45             mp[u][u] = 1 ;
46             mp[u][210] = 1 ;
47             int v = vis[i][max(0,j-2)] ;
48             mp[u][v] -= (1-p) ;
49             v = vis[i][j+1] ;
50             mp[u][v] -= p ;
51         }
52         int u = vis[i][i] ;
53         mp[u][u] = 1 ;
54         mp[u][210] = 1 ;
55         int v = vis[i][max(0,i-2)] ;
56         mp[u][v] -= (1-p) ;
57         v = vis[i+1][i] ;
58         mp[u][v] -= p ;
59     }
60 }
61 
62 int main()
63 {
64 
65     while(scanf("%lf",&p) != EOF)
66     {
67         int cnt = 0 ;
68         memset(vis,-1,sizeof(vis)) ;
69         for(int i = 0 ; i < 20  ; i++)
70             for(int j = 0 ; j <= i ; j++)
71                 vis[i][j] = cnt ++ ;
72         memset(mp,0,sizeof(mp)) ;
73         pro() ;
74         printf("%.6lf\n",Gauss()) ;
75     }
76     return 0 ;
77 }
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2014多校第一场J题 || HDU 4870 Rating(DP || 高斯消元)

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