bzoj 3670: [Noi2014]动物园

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串S，它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作next[i]。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0，next[4] = next[6] = 1，next[7] = 2，next[8] = 3。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出对1,000,000,007取模的结果即可。

第1行仅包含一个正整数n ，表示测试数据的组数。随后n行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。数据保证S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

包含 n 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

n≤5,L≤1,000,000

题解：

　　辅助数组：构造出一个cnt数组，cnt[i]=k表示长度为i的前缀(以P[1]开始)经过k次利用i=next[i]跳跃使i变成0。

　　构造方法：显然对与P[1]，cnt一定等于1，即cnt[1]=1。对与字符串中的第g个字符，它的一次跳跃变成了next[g],所以cnt[g]=cnt[next[g]]+1;所以可以看出只要进行一次kmp，就可以构造出cnt[]。

　　使用方法：在进行一次kmp，但这次要保证 j*2≤ i，此时的cnt[j]就是Π (cnt[num[i]] + 1) (1 ≤ i ≤ len)中的num[]。

　　对cnt数组的解释：假设当前串是ababccabab，此时i=10，next[10]=4，cnt[4]=2。当进行第一次i=next[10]时，i=4，4的含义是最长匹配前后缀的长度，也就是说所以可能对num[i]有贡献的方案都在前4个字符内，在进行cnt[4]次跳转操作，实际上每一次跳转都是一种有效的情况(由next[]的性质可知)。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cstring>
 7 using namespace std;
 8 typedef long long LL;
 9 const int mod=1000000007;
10 char P[1000010];
11 LL N,next[1000010],lenP;
12 LL cnt[1000010];//cnt[i]表示长度为i的前缀经过几次next的跳转会变成 0
13 LL sum,ans=1;
14 int main(){
15     scanf("%lld",&N);
16     while(N--){
17         ans=1;
18         memset(next,0,sizeof(next));
19         scanf("%s",P+1); lenP=strlen(P+1);
20         cnt[1]=1;
21         for(LL j=0,i=2;i<=lenP;i++){
22             while(P[j+1]!=P[i]&&j) j=next[j];
23             if(P[j+1]==P[i]) j++;
24             next[i]=j;
25             cnt[i]=cnt[j]+1;
26         }
27         LL ans=1;
28         for(LL i=2,j=0;i<=lenP;i++){
29             while(P[j+1]!=P[i]&&j) j=next[j];
30             if(P[j+1]==P[i]) j++;
31             while(j*2>i) j=next[j];
32             ans=(1LL*ans*(cnt[j]+1))%mod;
33         }
34         printf("%lld\n",ans);
35     }  
36     return 0;
37 }