LeetCode解题之Unique Binary Search Trees

原题

给定1到n这n个数，用它们能够构成多少种形状不同的二叉搜索树。

注意点：

• 这n个数都要是二叉搜索树的节点，不能只取部分

例子：

输入: n = 3

输出: 5

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \           3     2     1      1   3      2
    /     /       \                    2     1         2                 3

解题思路

首先明确n个不等的数它们能构成的二叉搜索树的种类都是相等的。而且1到n都可以作为二叉搜索树的根节点，当k是根节点时，它的左边有k-1个不等的数，它的右边有n-k个不等的数。以k为根节点的二叉搜索树的种类就是左右可能的种类的乘积。用递推式表示就是 h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2) ，其中h(0)=h(1)=1，因为0个或者1个数能组成的形状都只有一个。从1到n依次算出h(x)的值即可。此外这其实就是一个卡特兰数，可以直接用数学公式计算，不过上面的方法更加直观一些。

AC源码

class Solution(object):
    def numTrees(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        dp = [1 for __ in range(n + 1)]
        for i in range(2, n + 1):
            s = 0
            for j in range(i):
                s += dp[j] * dp[i - 1 - j]
            dp[i] = s
        return dp[-1]


if __name__ == "__main__":
    assert Solution().numTrees(5) == 42

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