首页 > 其他好文 > 详细

概率论复习

时间：2016-02-01 18:27:56 阅读：189 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

标签：

一、随机变量的数字特征

1. 数学期望

刻画随机变量取值的平均数，若X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)

2. 方差

刻画随机变量取值的离散程度
定义
方差：D(x) = E{[X-E(X)]^2}
标准差：sigma(x) = sqrt(D(x))
常用计算公式
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
性质
1. D(CX) = C^2 * D(X)
2. D(X)+D(Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
D(X)-D(Y)=D(X)+D(Y)-2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
if X,Y相互独立,则：=D(X)+D(Y)

分布	期望E	方差D
二项分布B(n,p)	np	np(1-p)
泊松分布P(lambda)	lambda	lambda
均匀分布U(a,b)	(a+b)/2	(b-a)^2/12
指数分布exp(lambda)	1/lambda	1/(lambda^2)
正态分布N(mu,sigma)	mu	sigma^2

3. 协方差

随机变量X与Y的协方差：
cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
D(X):=cov(X,X)
性质：
1.对称性:cov(X,Y)=cov(Y,X)
2.齐性：cov(aX,bY)=ab*cov(X,Y)
3.可加性：cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)
常用计算公式：
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
协方差矩阵：n维随机变量(X1,X2,...,Xn)

4. 相关系数

rho(X,Y)=cov(X,Y)/sqrt[D(X)*D(Y)]，是量纲为1的量
性质：
1.rho(X,Y)可理解为X,Y标准化后的协方差
2.|rho(X,Y)|<=1
3.|rho(X,Y)|=1 <==> P{Y=aX+b}=1完全线性相关

5. 矩

随机变量更一般的数字特征：矩
定义：
X的k阶原点矩：gamma(k)=E(X^k), k=1,2,3,...
k阶绝对原点矩：alpha(k)=E(|X|^k), k=1,2,3,...
X的k阶中心矩：mu(k)=E{[X-E(X)]^k}, k=1,2,3,...
X的k阶绝对中心矩：beta(k)=E{|X-E(X)|^k}, k=1,2,3,...
常见：
gamma(1)=E(X)
mu(1)=0
mu(2)=D(X)=gamma(2)-gamma(1)^2

二、大数定律和中心极限定理

1. 切比雪夫Chebyshev不等式

是对概率作的一个粗略的估计
P{|X-E(X)|>=eps} <= D(X)/(eps^2)，eps>0
例子：当eps=sigma时，
P{|X-E(X)|>=3sigma} <= sigma^2/(3sigma)^2 = 1/9

2. 大数定律

如X1,X2,...,Xn的期望均存在,对于任意eps>0，有：

则称：随机变量序列X1,X2,...,Xn服从大数定律
理解：
1.随机变量序列依概率收敛

3. 中心极限定理

相互独立的随机变量序列X1,X2,...,Xn的E与D均存在
X_sum = sum(Xi)=X1+X2+...+Xn的期望与方差：
E(X_sum) = sum[E(Xi)]
D(X_sum) = sum[D(Xi)]
将X_sum标准化后：
Zn=X_sum-E(X_sum)/sqrt[D(X_sum)]
E(Zn)=0
D(Zn)=1
记Zn的分布函数为Fn(x):=P(Zn<=x}，若:

则称：随机变量序列X1,X2,...,Xn服从中心极限定理
理解
1.{Zn}依分布收敛于标准正态分布随机变量
2.现实中许多随机变量Z都可以表示为大量的相互独立的随机变量之和，而且其中每一个随机变量对综合的影响十分微小，这类随机变量Z往往近似服从正态分布

四、应用

蒙特卡罗方法

概率论复习

标签：

原文地址：http://www.cnblogs.com/cooly/p/probability_review.html

踩

(0)

赞

(0)

举报

评论一句话评论（0）

分享档案

更多>

2021年07月29日 (22)
2021年07月28日 (40)
2021年07月27日 (32)
2021年07月26日 (79)
2021年07月23日 (29)
2021年07月22日 (30)
2021年07月21日 (42)
2021年07月20日 (16)
2021年07月19日 (90)
2021年07月16日 (35)

周排行

更多

友情链接

兰亭集智国之画百度统计站长统计阿里云 chrome插件新版天听网

关于我们 - 联系我们 - 留言反馈

© 2014 mamicode.com 版权所有联系我们:gaon5@hotmail.com

迷上了代码！