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今天接到scy的压缩包，开始做数论专题。那今天就总结一下拓展欧几里得求解不定方程和同余方程组。
首先我们复习一下欧几里得算法：
1 int gcd(int a,int b){
2 if(b==0) return a;
3 return gcd(b,a%b);
4 }
拓展欧几里得算法：
推导过程：
给出A和B，求它们的最大公约数，并且求出x和y，满足Ax+By=gcd(A,B)。
当A=0时，x=0，y=1;
当A>0时，
因为exgcd(A,B,x,y)表示Ax+By=gcd(A,B)
而且exgcd(B%A,A,tx,ty)表示 B%A * tx + A*ty = gcd(B%A,A)
又gcd(A,B)== gcd(B%A,A)，所以B%A * tx + A*ty ==Ax+By
方程：
程序实现：
1 int tx,ty;
2
3 int exgcd(int a,int b)
4 {
5 if(b==0) {tx=1,ty=0;return a;}
6 int d=exgcd(b,a%b);
7 int x=ty,y=tx-(a/b)*ty;
8 tx=x;ty=y;
9 return d;
10 }
求解不定方程
已知a,b,n,求x，使得
，可以转化为：
，则要求gcd(a,n)|b，否则无解。
poj2115--C Looooops
http://poj.org/problem?id=2115
题意：裸题。
//poj2115
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL bit[40];
LL tx,ty;
LL exgcd(LL a,LL b)
{
if(b==0) {tx=1,ty=0;return a;}
LL d=exgcd(b,a%b);
LL x=ty,y=tx-(a/b)*ty;
tx=x;ty=y;
return d;
}
int main()
{
//freopen("a.in","r",stdin);
//freopen("a.out","w",stdout);
bit[0]=1;
for(LL i=1;i<=32;i++) bit[i]=bit[i-1]*2;
LL a,b,c,k;
while(1)
{
scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&c,&k);
if(!a && !b && !c && !k) return 0;
LL A=c,B=bit[k],C=b-a;
LL g=exgcd(A,B);
if(C%g) printf("FOREVER\n");
else
{
LL x=tx*(C/g);
x=(x%(B/g)+(B/g))%(B/g);
printf("%I64d\n",x);
}
}
return 0;
}
poj1061 青蛙的约会
http://poj.org/problem?id=1061
题意：裸题。注意负数。
//poj1061
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL tx,ty;
LL exgcd(LL a,LL b)
{
if(b==0) {tx=1,ty=0;return a;}
LL d=exgcd(b,a%b);
LL x=ty,y=tx-(a/b)*ty;
tx=x;ty=y;
return d;
}
int main()
{
// freopen("a.in","r",stdin);
// freopen("a.out","w",stdout);
LL x,y,m,n,l;
scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l);
LL g=exgcd(m-n,l);
// printf("g = %I64d\n",g);
if((y-x)%g!=0) printf("Impossible\n");
else {
LL rx=tx*(y-x)/g;
LL r=l/g;
if(r<0) r*=-1;
rx=(rx%r+r)%r;
printf("%I64d\n",rx);
}
return 0;
}
同余方程组
中国剩余定理：
从网上找到一段解释，觉得很好：
《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。
--------这个就是传说中的“中国剩余定理”。 其实题目的意思就是，n % 3 = 2, n % 5 = 3, n % 7 = 2; 问n是多少？
那么他是怎么解决的呢？
看下面：
题目中涉及 3， 5，7三个互质的数、
令：5 * 7 * a % 3 = 1; --------------> a = 2; 即5 * 7 * 2 = 70；
3 * 7 * b % 5 = 1; --------------> b = 1; 即3 * 7 * 1 = 21；
3 * 5 * c % 7 = 1; --------------> c = 1; 即3 * 5 * 1 = 15；
为什么要使余数为1：是为了要求余数2的话，只要乘以2就可以，要求余数为3的话，只要乘以3就可以！
( 因为题目想要n % 3 =2, n % 5 =3, n % 7 =2; )
那么：要使得n % 3 = 2，那么（ 5 * 7 * 2 ）*2 % 3 = 2；( 因为5 * 7 * 2 % 3 = 1 )
同理： 要使得n % 5 = 3，那么（ 3 * 7 * 1 ）*3 % 5 = 3；( 因为3 * 7 * 1 % 5 = 1 )
同理：要使得n % 7 = 2，那么（ 3 * 5 * 1 ）* 2 % 7 = 2；( 因为3 * 5 * 1 % 7 = 1 )
那么现在将（ 5 * 7 * 2 ）* 2和（ 3 * 7 * 1 ）* 3和（ 3 * 5 * 1 ）* 2相加会怎么样呢？我们知道
（ 5 * 7 * 2 ）* 2可以被5和7整除，但是%3等于2
（ 3 * 7 * 1 ）* 3可以被3和7整除，但是%5等于3
（ 3 * 5 * 1 ）* 2可以被3和5整除，但是%7等于2
那么即使相加后，%3， 5， 7的情况也还是一样的！
那么就得到一个我们暂时需要的数（ 5 * 7 * 2 ）* 2 +（ 3 * 7 * 1 ）* 3 +（ 3 * 5 * 1 ）* 2 = 233
但不是最小的!所有我们还要 233 % ( 3 * 5 * 7 ) == 23 得解！
该解释来自博客http://blog.csdn.net/shanshanpt/article/details/8724769
poj1006 biorhythms
1 //poj1006
2 /*
3 x%23=a;
4 x%28=b;
5 x%33=c;
6 */
7 #include<cstdio>
8 #include<cstdlib>
9 #include<cstring>
10 #include<iostream>
11 using namespace std;
12
13 int tx,ty;
14 /*
15 void exgcd(int a,int b)
16 {
17 if(b==0) {tx=1,ty=0;return ;}
18 exgcd(b,a%b);
19 int x=ty,y=tx-(a/b)*ty;
20 tx=x;ty=y;
21 }
22 */
23 int main()
24 {
25 freopen("a.in","r",stdin);
26 freopen("a.out","w",stdout);
27 int T=0;
28 while(1)
29 {
30 int a,b,c,d;
31 scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
32 if(a==-1 && b==-1 && c==-1 && d==-1) return 0;
33 int x=6*a*28*33;
34 int y=-9*b*23*33;
35 int z=2*c*23*28;
36 int g=23*28*33;
37 int ans=(x+y+z)%g;
38 while(ans-d <= 0) ans+=g;
39 while(ans-d > g) ans-=g;
40 printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",++T,ans-d);
41 }
42 return 0;
43 }
不互素怎么办？同余方程组：
中国剩余定理求的同余方程组mod 的数是两两互素的。mod的数可能不是互素，所以要转换一下再求。
P=b1(mod a1); P / a1 ==?~~~~b1
P =b2(mod a2);
P =b3(mod a3);
……
P =bn(mod an);
a1~an,b1~bn是给出来的。
解：
第一条：a1*x+b1=P
第二条：a2*y+b2=P
第一条减去第二条： a1*x - a2*y = b2-b1
设A=a1,B=-a2,K=b2-b1，得到了x（实际调用exgcd的时候不理会a2前面的负号）
如果K%d!=0，无解
否则，X=[ (x* K/d)%(B/d)+(B/d) ]%(B/d)
LCU表示最小公倍数
P= a1*X+b1+ 若干倍的LCU(a1,a2)（或者把Y=(K-AX)/B，再P=a2*Y+b2+ 若干倍的LCU(a1,a2)
所以新的b= a1*x+b1，新的a= LCU(a1,a2)，
把新的b当成b1,新的a当成a1，再去和a3和b3结合，一直到最后结束，最后新的b就是X
poj2891 Strange Way to Express Integers
http://poj.org/problem?id=2891
题意：同余方程组。
1 //poj2891
2 #include<cstdio>
3 #include<cstdlib>
4 #include<cstring>
5 #include<iostream>
6 using namespace std;
7
8 typedef long long LL;
9 const LL N=11000;
10 LL a[N],b[N];
11 LL tx,ty;
12
13 LL exgcd(LL aa,LL bb)
14 {
15 if(bb==0) {tx=1,ty=0;return aa;}
16 LL d=exgcd(bb,aa%bb);
17 LL x=ty,y=tx-(aa/bb)*ty;
18 tx=x;ty=y;
19 return d;
20 }
21
22 LL lcu(LL aa,LL bb)
23 {
24 LL d=exgcd(aa,bb);
25 return aa*bb/d;
26 }
27
28 int main()
29 {
30 freopen("a.in","r",stdin);
31 freopen("a.out","w",stdout);
32 // printf("%d\n",(-5)%3);
33 LL n,a1,b1,x;
34 while(scanf("%I64d",&n)!=EOF)
35 {
36 bool bk=1;
37 for(LL i=1;i<=n;i++)
38 scanf("%I64d%I64d",&a[i],&b[i]);
39 LL A=a[1],B=a[2],C=b[2]-b[1];
40 LL g=exgcd(A,B);
41 if(C%g) bk=0;
42 else {
43 x=((tx*C/g)%(B/g)+(B/g))%(B/g);
44 b1=a[1]*x+b[1];
45 a1=lcu(a[1],a[2]);
46 }
47 for(LL i=3;i<=n;i++)
48 {
49 A=a1,B=a[i],C=b[i]-b1;
50 g=exgcd(A,B);
51 if(C%g) {bk=0;break;}
52 x=((tx*C/g)%(B/g)+(B/g))%(B/g);
53 b1=a1*x+b1;
54 a1=lcu(a1,a[i]);
55 }
56 if(bk) printf("%I64d\n",b1);
57 else printf("-1\n");
58 }
59 return 0;
60 }
今天就学了这么些，要加油啊！
标签：
原文地址：http://www.cnblogs.com/KonjakJuruo/p/5176417.html
