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陶哲轩 实分析 第二章第二小节 习题解答

时间:2016-02-02 15:12:53      阅读:177      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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陶哲轩 实分析 第二小节 习题

最近从网上下载到了陶哲轩写的实分析,确实是本好书。不过所有的习题都没有给出答案。我试着自己做一遍习题,整理一份习题解答。

2.2.1 证明自然数加法是结合的 (a + b) + c = a + (b + c)

数学归纳法

a=0 时,

左边:

(0+b)+c=b+c

右边:

0+(b+c)=b+c

左边 = 右边

假设当 a=n 时,(n+b)+c=n+(b+c) 成立

则,当 a=n++

((n++)+b)+c=((n+b)++)+c=((n+b)+c)++=(n+(b+c))++=(n++)+(b+c)

证毕

2.2.2 设 a 是一个正数,那么恰存在一个自然数 b,使得 (b++) = a

数学归纳法

a=1b=0

假设 a=n 时, (b++)=a 成立

则当 a=n++ 时, b=n 满足 (b++)=a

证毕

2.2.3 自然数序的基本性质

(a) aa (序是自反的)

a+0=a

证毕

(b) abbcac (序是传递的)

a+m1=bb+m2=c

所以

(a+m1)+m2=ca+(m1+m2)=c

所以 ac

证毕

(c) 若 abbaa=b (序是反对称的)

a+m1=bb+m2=aa+m1+m2=a

所以 m1+m2=0

所以 m1=0, m2=0

所以 a=b

(d) ab 当且仅当 a+cb+c (加法保序)

先证明 ab?a+cb+c

数学归纳法

c=0 时, a+0b+0 显然成立

假设 c=n 时, a+nb+n 成立

c=n++

a+(n++)+m=((a+n)++)+m=((a+n)+m)++=(b+n)++=b+n++

所以

a+(n++)b+(n++)

证毕

再证明 a+cb+c?ab

a+c+m=b+ca+m=ba>b

(e) a<b 当且仅当 a++b

先证明 a<b?a++b

a<b 表明 a+m=bab, m0

由于 m0 所以

m=(n++)a+(n++)=b(a++)+n=b

所以 ab

再证明 a++b?a<b

(a++)+m=ba+(m++)=b

所以 a++b

因为 m++0 所以 ab

(f) a < b 当且仅当对某个正数 d,b = a + d

先证明 a<b?b=a+d

a<b 所以

a+d=bd0

所以 d 是正数

b=a+d

再证明 b=a+d?a<b

b=a+d?ab

由于 d0, 所以 ba, 所以 a<b

证毕

2.2.4 验证命题 2.2.13 的三个子命题

(1) 证明 0b 对于一切 b 成立

因为:0+b=b
所以 : 0b
证毕

(2) 若 a>b 证明 a++>b

a>b,则有 a=b+m,且 m0

a++=(b+m)++=b+m++a++>b

证毕

(3) 若 a=ba++>b

因为:a=b
所以:(a++)=(b++)=b+1
所以:a++>b
证毕

2.2.5 证明命题 2.2.14

前提:若 P(m) 对于一切 m0m<m 成立,则 P(m) 也成立。
证明:P(m) 对于一切 m0m 都成立。

定义一个性质 Q(n) ,当命题 P(m) 对于一切 m0m<n 成立时为真,否则为假。

P(m) 对于一切 m0m<m 成立 这个前提成立的情况下 Q(m0) 为真,P(m0) 为真。
假设当 n=n>m0 时, Q(n) 成立,也就是说 P(m) 对于一切 m0m<n 成立。由前提,可知 P(n) 也成立。

所以: P(m) 对于一切 m0m<n+1 成立。也就是说 Q(n+1) 成立。

所以 Q(n) 对于一切的 n>m0 成立。
所以 P(n?1) 对于一切的 n>m0 成立。
所以P(n) 对于一切的 n>m0 成立。

证毕

2.2.6 证明向后归纳原理

条件:若 P(m++) 成立,则 P(m) 成立。
命题:若 P(n) 成立,则对于一切 mnP(m) 成立。

数学归纳法:

当 n = 1 时。若 P(1) 成立,由条件可知 P(0) 成立。
所以 P(1) 成立时对一切的m1 有,P(m) 成立,命题是成立的。

假设当 n=n 时,命题成立,即 P(n)成立可推导出对一切的 mn 都有 P(m) 成立。

那么当 n=n+1 时,P(n+1) 成立,由条件可得 P(n) 成立。由上面假设,对一切的 mn 都有 P(m)成立,再加上P(n+1) 成立,就有对一切的 mn+1 都有 P(m)成立。

所以对于一切的 n,命题都成立。

陶哲轩 实分析 第二章第二小节 习题解答

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原文地址:http://blog.csdn.net/liyuanbhu/article/details/50623327

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