最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现（转）

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概念

最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。

原理

[原理部分由个人根据互联网上的资料进行总结，希望对大家能有用]

     给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。 

常见的曲线拟合方法:

     1.使偏差绝对值之和最小

     2.使偏差绝对值最大的最小

     3.使偏差平方和最小

     按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：

     1. 设拟合多项式为：

     2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

     3. 为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了： 

                         .......

     4. 将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式：

                     .......

     5. 把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

     6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

     7. 也就是说X*A=Y，那么A = (X‘*X)-1*X‘*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。

实现

运行前提:

1. Python运行环境与编辑环境；
2. Matplotlib.pyplot图形库，可用于快速绘制2D图表，与matlab中的plot命令类似，而且用法也基本相同。

代码:

[python] view plain copy

 

1. # coding=utf-8  
2.   
3. ‘‘‘‘‘ 
4. 作者:Jairus Chan 
5. 程序:多项式曲线拟合算法 
6. ‘‘‘  
7. import matplotlib.pyplot as plt  
8. import math  
9. import numpy  
10. import random  
11.   
12. fig = plt.figure()  
13. ax = fig.add_subplot(111)  
14.   
15. #阶数为9阶  
16. order=9  
17.   
18. #生成曲线上的各个点  
19. x = numpy.arange(-1,1,0.02)  
20. y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x]  
21. #ax.plot(x,y,color=‘r‘,linestyle=‘-‘,marker=‘‘)  
22. #,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"  
23.   
24. #生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去  
25. i=0  
26. xa=[]  
27. ya=[]  
28. for xx in x:  
29.     yy=y[i]  
30.     d=float(random.randint(60,140))/100  
31.     #ax.plot([xx*d],[yy*d],color=‘m‘,linestyle=‘‘,marker=‘.‘)  
32.     i+=1  
33.     xa.append(xx*d)  
34.     ya.append(yy*d)  
35.   
36. ‘‘‘‘‘for i in range(0,5): 
37.     xx=float(random.randint(-100,100))/100 
38.     yy=float(random.randint(-60,60))/100 
39.     xa.append(xx) 
40.     ya.append(yy)‘‘‘  
41.   
42. ax.plot(xa,ya,color=‘m‘,linestyle=‘‘,marker=‘.‘)  
43.   
44.   
45. #进行曲线拟合  
46. matA=[]  
47. for i in range(0,order+1):  
48.     matA1=[]  
49.     for j in range(0,order+1):  
50.         tx=0.0  
51.         for k in range(0,len(xa)):  
52.             dx=1.0  
53.             for l in range(0,j+i):  
54.                 dx=dx*xa[k]  
55.             tx+=dx  
56.         matA1.append(tx)  
57.     matA.append(matA1)  
58.   
59. #print(len(xa))  
60. #print(matA[0][0])  
61. matA=numpy.array(matA)  
62.   
63. matB=[]  
64. for i in range(0,order+1):  
65.     ty=0.0  
66.     for k in range(0,len(xa)):  
67.         dy=1.0  
68.         for l in range(0,i):  
69.             dy=dy*xa[k]  
70.         ty+=ya[k]*dy  
71.     matB.append(ty)  
72.    
73. matB=numpy.array(matB)  
74.   
75. matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)  
76.   
77. #画出拟合后的曲线  
78. #print(matAA)  
79. xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)  
80. yya=[]  
81. for i in range(0,len(xxa)):  
82.     yy=0.0  
83.     for j in range(0,order+1):  
84.         dy=1.0  
85.         for k in range(0,j):  
86.             dy*=xxa[i]  
87.         dy*=matAA[j]  
88.         yy+=dy  
89.     yya.append(yy)  
90. ax.plot(xxa,yya,color=‘g‘,linestyle=‘-‘,marker=‘‘)  
91.   
92. ax.legend()  
93. plt.show()  

运行效果: 

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