POJ-1061 青蛙的约会-数论扩展欧几里德算法入门及推导

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#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
__int64 t,p;
__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
    if(b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}
void extend_gcd(__int64 a,__int64 b)
{
    if(b==0)
    {
        t=1;
        p=0;
    }
    else
    {
        extend_gcd(b,a%b);
         __int64 temp=t;
        t=p;
        p=temp-a/b*p;
    }

}
int main()
{
    __int64 x,y,n,m,l;
    __int64 a,b,c,a1,b1,c1,count;
   scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);

        a=n-m;
        b=l;
        c=x-y;
       if(c%gcd(a,b)!=0||m==n)
        {
            printf("Impossible\n");
           return 0;
        }

            count=gcd(a,b);
            a=a/count;
            b=b/count;
            c=c/count;
            extend_gcd(a,b);
        t*=c;
        p*=c;
        t=(t%b+b)%b;
            printf("%lld\n",t);







    return 0;
}

扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程：
解不定方程ax  +  by  =  n的步骤如下:  
 
(1)计算gcd(a,  b).  若gcd(a, b)不能整除n，则方程无整数解；否则，在方程的两边同除以gcd(a, b)，
   得到新的不定方程a‘x  +  b‘y =  n‘，此时gcd(a‘,  b‘)  =  1  
 
(2)求出不定方程a‘x  +  b‘y  =  1的一组整数解x0,  y0，则n‘x0，n‘y0是方程a‘x  +  b‘y  =  n‘的一组整数解。  
 
(3)根据&@^%W#&定理，可得方程a‘x +  b‘y  =  n‘的所有整数解为：  
    x  =  n‘x0  +  b‘t  
    y  =  n‘y0  -  a‘t  
   (t为整数)  
这也就是方程ax  +  by  =  n的所有整数解  
 
利用扩展的欧几里德算法，计算gcd(a,  b)和满足d  =  gcd(a,  b)  =  ax0  +  by0的x0和y0，
也就是求出了满足a‘x0  +  b‘y0  =  1的一组整数解。因此可得：  
x  =  n/d  *  x0  +  b/d  *  t  
y  =  n/d  *  y0  -  a/d  *  t  
(t是整数)   
*/
欧几里得模板：

__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
    if(b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}

辗转相除，原理：    定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)  
  证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b   
        假设d是a,b的一个公约数，则有    d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r    因此d是(b,a mod b)的公约数  
        假设d 是(b,a mod b)的公约数，则    d | b , d |r ，但是a = kb +r    因此d也是(a,b)的公约数  
  
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得 

        求（481,221）的最大公约数a=481，b=221；
        （221,39）
        （39,26）
        （26,13）
        （13,0）
故最大公约数为13；
 void extend_gcd(__int64 a,__int64 b)
{
    if(b==0)
    {
        t=1;
        p=0;
    }
    else
    {
        extend_gcd(b,a%b);
         __int64 temp=t;
        t=p;
        p=temp-a/b*p;
    }

}
欧几里得扩展推导：
把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。 
   可以这样思考:  
  对于a‘ = b, b‘ = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a‘x + b‘y = Gcd(a‘, b‘)  
  由于b‘ = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)  
  那么可以得到:  
  a‘x + b‘y = Gcd(a‘, b‘) ===>  
  bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a‘, b‘) = Gcd(a, b) ===>    ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)  
  因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)