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Steffen Rendle于2010年提出Factorization Machines（下面简称FM），并发布开源工具libFM。
与SVM相比，FM对特征之间的依赖关系用factorized parameters来表示。对于输入数据是非常稀疏（比如自动推荐系统），FM搞的定，而SVM搞不定，因为训出的SVM模型会面临较高的bias。还有一点，通常对带非线性核函数的SVM，需要在对偶问题上进行求解；而FM可以不用转为对偶问题，直接进行优化。
目前还有很多不同的factorization models，比如matrix factorization和一些特殊的模型SVD++, PITF, FPMC。这些模型的一个缺点是它们只适用于某些特定的输入数据，优化算法也需要根据问题专门设计。而经过一些变换，可以看出FM囊括了这些方法。
2-way FM(degree = 2)是FM中具有代表性，且比较简单的一种。就以其为例展开介绍。其对输出值是如下建模：
公式说明：
(1) 模型的参数包括：
；
(2) n是特征维度；
(3) k是定义factorization维度的超参数，是正整数。
(4) 在FM中，如何对特征之间的依赖关系建模？首先用k维向量去描述每个维度，然后对2个维度所对应的vi和vj求点积，以此来刻画2个特征之间的特征关系。如果需要刻画x(x>2)个特征之间的关系，可以用x-way FM模型。
(5) 表面上看式子的第3项的计算复杂度为O(kn2)，但其实可以经过简单的数学处理，计算复杂度降为O(kn)。
他的思想应该是从推荐系统中经典的SVD模型（因子分解模型）得到的，经典的SVD模型当中相当于只有两种类型的feature，一类feature是user，一类feature是item，而libFM是把这个模型推广到了多类feature的情况。为简单起见，考虑因子维数为1的情况，SVD模型用a∗ba∗b来作为对打分的预测。而libFM要面对的是多类feature，假设是3类，那么就用a∗b+b∗c+c∗aa∗b+b∗c+c∗a来作为对结果的预测。这时候就要问了，如果feature很多，这不就有平方量级的乘法次数了么？当然不是，libFM的文章中提到，他利用((a+b+c)2−a2−b2−c2)/2((a+b+c)2−a2−b2−c2)/2来计算刚才的式子，但是你可以看到，他们其实是相等的，不同的是，这样的计算量只是线性复杂度的。当然libFM也同时支持bias项，这和经典SVD模型类似。
以上就是libFM的创新之处，其实如果很了解SVD模型，那这个改进并不难理解。
论文中还提到，经典的SVD++模型等对于SVD模型的改进，也只是libFM的一个子集而已。只要合适的去添加feature即可。比如SVD++模型就相当于对每个item增加一个feature，来描述用户是否也给这个item打过分即可。所以有了libFM以后，最需要人工解决的问题就是添加合适的feature了。
另外再说明一下推荐系统的数据如何转化成libFM接受的形式。假设User ID范围是[0,99]，Item ID范围是[0,199]，则定义feature 0到feature 99对应于User，feature 100到feature 299对应于Item，假设第一条打分记录是User 4对Item 9的打分，则feature 4和feature 109的取值为1，其余feature取值都是0。由于数据文件是稀疏格式的，所以取值为0的feature都不用写，这样文件不会太大。其余对经典SVD模型的改进就需要增加一些对应feature。他的代码中，每条记录是使用map存储feature的，可以随机存取任意一个feature的值（但是可能用链表就可以了？因为一般都是顺序访问的）。
FM可以用于多种预测问题，包括回归、分类和排序。对不同的预测问题，可以选择合适的loss term和regularization term。另外，FM的梯度也很容易求。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/5255427.html
