正则化方法：L1和L2 regularization、数据集扩增、dropout

本文是《Neural networks and deep learning》概览 中第三章的一部分。讲机器学习/深度学习算法中经常使用的正则化方法。（本文会不断补充）

正则化方法：防止过拟合，提高泛化能力

在训练数据不够多时，或者overtraining时，经常会导致overfitting（过拟合）。其直观的表现例如以下图所看到的。随着训练过程的进行，模型复杂度添加，在training data上的error渐渐减小。可是在验证集上的error却反而渐渐增大——由于训练出来的网络过拟合了训练集，对训练集外的数据却不work。

为了防止overfitting。能够用的方法有非常多，下文就将以此展开。有一个概念须要先说明，在机器学习算法中，我们经常将原始数据集分为三部分：training data、validation data。testing data。这个validation data是什么？它事实上就是用来避免过拟合的。在训练过程中。我们通经常使用它来确定一些超參数（比方依据validation data上的accuracy来确定early stopping的epoch大小、依据validation data确定learning rate等等）。那为啥不直接在testing data上做这些呢？由于假设在testing data做这些，那么随着训练的进行，我们的网络实际上就是在一点一点地overfitting我们的testing data，导致最后得到的testing accuracy没有不论什么參考意义。因此，training data的作用是计算梯度更新权重，validation data如上所述。testing data则给出一个accuracy以推断网络的好坏。

避免过拟合的方法有非常多：early stopping、数据集扩增（Data augmentation）、正则化（Regularization）包含L1、L2（L2 regularization也叫weight decay），dropout。

L2 regularization（权重衰减）

L2正则化就是在代价函数后面再加上一个正则化项：

C0代表原始的代价函数，后面那一项就是L2正则化项。它是这样来的：全部參数w的平方的和，除以训练集的样本大小n。

λ就是正则项系数，权衡正则项与C0项的比重。另外另一个系数1/2，1/2经常会看到，主要是为了后面求导的结果方便，后面那一项求导会产生一个2。与1/2相乘刚好凑整。

L2正则化项是怎么避免overfitting的呢？我们推导一下看看，先求导：

能够发现L2正则化项对b的更新没有影响，可是对于w的更新有影响:

在不使用L2正则化时。求导结果中w前系数为1，如今w前面系数为 1?ηλ/n ，由于η、λ、n都是正的。所以 1?ηλ/n小于1，它的效果是减小w。这也就是权重衰减（weight decay）的由来。

当然考虑到后面的导数项，w终于的值可能增大也可能减小。

另外。须要提一下，对于基于mini-batch的随机梯度下降，w和b更新的公式跟上面给出的有点不同：

对照上面w的更新公式。能够发现后面那一项变了，变成全部导数加和，乘以η再除以m，m是一个mini-batch中样本的个数。

到眼下为止，我们仅仅是解释了L2正则化项有让w“变小”的效果，可是还没解释为什么w“变小”能够防止overfitting？一个所谓“显而易见”的解释就是：更小的权值w，从某种意义上说，表示网络的复杂度更低，对数据的拟合刚刚好（这个法则也叫做奥卡姆剃刀），而在实际应用中，也验证了这一点。L2正则化的效果往往好于未经正则化的效果。当然，对于非常多人（包含我）来说，这个解释似乎不那么显而易见，所以这里加入一个略微数学一点的解释（引自知乎）：

过拟合的时候，拟合函数的系数往往非常大，为什么？例如以下图所看到的，过拟合。就是拟合函数须要顾忌每个点。终于形成的拟合函数波动非常大。在某些非常小的区间里，函数值的变化非常剧烈。

这就意味着函数在某些小区间里的导数值（绝对值）非常大，由于自变量值可大可小，所以仅仅有系数足够大，才干保证导数值非常大。

而正则化是通过约束參数的范数使其不要太大，所以能够在一定程度上降低过拟合情况。

L1 regularization

在原始的代价函数后面加上一个L1正则化项。即全部权重w的绝对值的和。乘以λ/n（这里不像L2正则化项那样，须要再乘以1/2。详细原因上面已经说过。）

相同先计算导数：

上式中sgn(w)表示w的符号。那么权重w的更新规则为：

比原始的更新规则多出了η * λ * sgn(w)/n这一项。

当w为正时，更新后的w变小。

当w为负时。更新后的w变大——因此它的效果就是让w往0靠。使网络中的权重尽可能为0，也就相当于减小了网络复杂度，防止过拟合。

另外，上面没有提到一个问题，当w为0时怎么办？当w等于0时，|W|是不可导的。所以我们仅仅能依照原始的未经正则化的方法去更新w，这就相当于去掉η*λ*sgn(w)/n这一项，所以我们能够规定sgn(0)=0，这样就把w=0的情况也统一进来了。

（在编程的时候，令sgn(0)=0,sgn(w>0)=1,sgn(w<0)=-1）

Dropout

L1、L2正则化是通过改动代价函数来实现的，而Dropout则是通过改动神经网络本身来实现的，它是在训练网络时用的一种技巧（trike）。它的流程例如以下：

假设我们要训练上图这个网络，在训练開始时，我们随机地“删除”一半的隐层单元，视它们为不存在，得到例如以下的网络：

保持输入输出层不变，依照BP算法更新上图神经网络中的权值（虚线连接的单元不更新，由于它们被“暂时删除”了）。

以上就是一次迭代的过程，在第二次迭代中，也用相同的方法，仅仅只是这次删除的那一半隐层单元，跟上一次删除掉的肯定是不一样的。由于我们每一次迭代都是“随机”地去删掉一半。

第三次、第四次……都是这样，直至训练结束。

以上就是Dropout，它为什么有助于防止过拟合呢？能够简单地这样解释。运用了dropout的训练过程，相当于训练了非常多个仅仅有半数隐层单元的神经网络（后面简称为“半数网络”），每个这种半数网络，都能够给出一个分类结果，这些结果有的是正确的，有的是错误的。

随着训练的进行，大部分半数网络都能够给出正确的分类结果。那么少数的错误分类结果就不会对终于结果造成大的影响。

更加深入地理解。能够看看Hinton和Alex两牛2012的论文《ImageNet Classification with Deep Convolutional Neural Networks》

数据集扩增（data augmentation）

“有时候不是由于算法好赢了。而是由于拥有很多其它的数据才赢了。”

不记得原话是哪位大牛说的了，hinton？从中可见训练数据有多么重要，特别是在深度学习方法中。很多其它的训练数据。意味着能够用更深的网络，训练出更好的模型。

既然这样，收集很多其它的数据不即可啦？假设能够收集很多其它能够用的数据，当然好。可是非常多时候，收集很多其它的数据意味着须要耗费很多其它的人力物力。有弄过人工标注的同学就知道。效率特别低，简直是粗活。

所以。能够在原始数据上做些改动，得到很多其它的数据，以图片数据集举例，能够做各种变换，如：

• 将原始图片旋转一个小角度

• 加入随机噪声

• 一些有弹性的畸变（elastic distortions）。论文《Best practices for convolutional neural networks applied to visual document analysis》对MNIST做了各种变种扩增。

• 截取（crop）原始图片的一部分。

  比方DeepID中，从一副人脸图中，截取出了100个小patch作为训练数据，极大地添加了数据集。

  感兴趣的能够看《Deep learning face representation from predicting 10,000 classes》.

  很多其它数据意味着什么？

用50000个MNIST的样本训练SVM得出的accuracy94.48%，用5000个MNIST的样本训练NN得出accuracy为93.24%，所以很多其它的数据能够使算法表现得更好。

在机器学习中，算法本身并不能决出胜负。不能武断地说这些算法谁优谁劣，由于数据对算法性能的影响非常大。

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