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Problem DescriptionConsider the number triangle shown below. Write a program that calculates the highest sum of numbers that can be passed on a route that starts at the top and ends somewhere on the base. Each step can go either diagonally down to the left or diagonally down to the right.
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7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
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In the sample above, the route from 7 to 3 to 8 to 7 to 5 produces the highest sum: 30.
Input Output Sample Input Sample Output很明显的一道动归题，类似于求最大路径，方法有很多，搜索啊，递归啊，，，但用动归是最简单的，动归思路有两种：
1：
用二维数组存放数字三角形；
D( r, j) : 第r行第 j 个数字(r,j从1 开始算)
MaxSum(r, j) : 从D(r,j)到底边的各条路径中最佳路径的数字之和，问题是就求MaxSum(1,1)；
典型的递归问题
D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形：
if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)；
2： 如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。
那么可以用 O(n2)时间完成计算。因为三角形的数字总数是 n(n+1)/2；这时，递归转化为递推；
下面呈现两种思路代码：
1：超时代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n; int MaxSum(int i, int j){ if(i==n) return D[i][j]; int x = MaxSum(i+1,j); int y = MaxSum(i+1,j+1); return max(x,y)+D[i][j]; } int main(){ int i,j; cin >> n; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) cin >> D[i][j]; cout << MaxSum(1,1) << endl; }
如果采用递规的方法，深度遍历每条路径，存在大量重复计算。则时间复杂度为 2n, 对于 n = 100行，肯定超时。
2：记忆递归
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 101 int D[MAX][MAX]; int n; int maxSum[MAX][MAX]; int MaxSum(int i, int j){ if( maxSum[i][j] != -1 ) return maxSum[i][j]; if(i==n) maxSum[i][j] = D[i][j]; else { int x = MaxSum(i+1,j); int y = MaxSum(i+1,j+1); maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j]; } return maxSum[i][j]; } int main(){ int i,j; cin >> n; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) { cin >> D[i][j]; maxSum[i][j] = -1; } cout << MaxSum(1,1) << endl; }
3：
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 101 int D[MAX][MAX]; int n; int maxSum[MAX][MAX]; int main() { int i,j; cin >> n; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) cin >> D[i][j]; for( int i = 1;i <= n; ++ i ) maxSum[n][i] = D[n][i]; for( int i = n-1; i>= 1; --i ) for( int j = 1; j <= i; ++j ) maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j] cout << maxSum[1][1] << endl; }
人人为我”递推型动归程序
4：当然了，3中的代码也可以空间优化，从下往上找
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define MAX 101 int D[MAX][MAX]; int n; int * maxSum; int main(){ int i,j; cin >> n; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) cin >> D[i][j]; maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行 for( int i = n-1; i>= 1; --i ) for( int j = 1; j <= i; ++j ) maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j]; cout << maxSum[1] << endl; }
如果看不懂简单手推模拟一遍你就明白了，不难。。和3中代码类似，只是将二维转化为一维了；
FZU1004-Number Triangle经典动归题，核心思路及代码优化
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原文地址：http://www.cnblogs.com/nyist-TC-LYQ/p/5292981.html
