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LCS是求两个字符串,最长的公共部分,中间可以间隔其他的元素。例如,字符串s1=‘‘mzjawxu‘‘,s2=‘‘xmjyauz‘‘,仔细分析下,大体可以看出最长公共子序列是‘‘mjau‘‘,我们需要一套科学严格的方法来求解。这个问题是DP问题(动态规划问题)。动态规划问题:就是当前问题的求解依赖于上一个子问题,上一个子问题又依赖于前一个子问题,子问题无限递归。
记:
Xi=﹤x1,?,xi﹥即X序列的前i个字符 (1≤i≤m)(前缀)
Yj=﹤y1,?,yj﹥即Y序列的前j个字符 (1≤j≤n)(前缀)
假定Z=﹤z1,?,zk﹥∈LCS(X , Y)。
若xm=yn(最后一个字符相同),则不难用反证法证明:该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z(设长度为k)的最后一个字符,即有zk = xm = yn 且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子序列。此时,问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS(LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1)。
若xm≠yn,则亦不难用反证法证明:要么Z∈LCS(Xm-1, Y),要么Z∈LCS(X , Yn-1)。由于zk≠xm与zk≠yn其中至少有一个必成立,若zk≠xm则有Z∈LCS(Xm-1 , Y),类似的,若zk≠yn 则有Z∈LCS(X , Yn-1)。此时,问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的长度为:max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。
(注释:
举个例子
X=m z j a w x u
Y=x m j y a u z
因为X7!=Y7所以X,Y两个字符串的最大公共序列应该在
X=m z j a w x u X‘=m z j a w x
Y’=x,m,j,y,a,u 或 Y=x m j y a u Z 中产生,即求LCS(Xm,Ym-1)和LCS(Xm-1,ym)中产生)
由于上述当xm≠yn的情况中,求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度,这两个问题不是相互独立的:两者都需要求LCS(Xm-1,Yn-1)的长度。另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS,故问题具有最优子结构性质考虑用动态规划法。
也就是说,解决这个LCS问题,你要求三个方面的东西:1、LCS(Xm-1,Yn-1)+1;2、LCS(Xm-1,Y),LCS(X,Yn-1);3、max{LCS(Xm-1,Y),LCS(X,Yn-1)}。
最长公共子序列的结构有如下表示:
设序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的一个最长公共子序列Z=<z1, z2, …, zk>,则:
其中Xm-1=<x1, x2, …, xm-1>,Yn-1=<y1, y2, …, yn-1>,Zk-1=<z1, z2, …, zk-1>。
上面的二维数组,黑色箭头代表找到了一个相同公共元素,这个元素应该在公共子序列中,这个元素和前面元素的最长子序列的并集,组成整个最长的子序列。每个元素的值表示每个字符串之间的最长公共子序列的长度,假设当前元素的位置(Xi,Yj),如果横坐标和纵坐标的字符相等,那么它的值等于(Xi-1,Yj-1)+1,如果横坐标和纵坐标的字符不相等,那么它的值等于max((Xi-1,Yj),(Xi,Yj-1)),这个二维数组完全映射了上面的那个递推公式。把所有子字符串的匹配的可能全部展示出来,从X,Y的字符串的最开始,递归后面的字符串。最后得到这个二维数组,数字最大的就是最长子序列的长度。
#include <stdio.h>
2
3
int
data[8][8]={0};
//初始化为全是0
4
char
*s1=
"mzjawxu"
;
5
char
*s2=
"xmjyauz"
;
6
void
print(
int
i,
int
j);
7
int
main(){
8
int
i=1,j=1;
9
for
(i=1;i<8;i++){
10
for
(j=1;j<8;j++){
11
if
(*(s1+i-1)==*(s2+j-1)){
//如果两个元素相同,那么这个元素的值等于对角的元素的值加一
12 data[i][j]=data[i-1][j-1]+1;
13 }
else
{
//如果两个元素不同,取左侧元素和上方元素的最大值,这个值也就是Xi-1,Yj和Xi,Yj-1公共字串的最大长度
14 data[i][j]=data[i][j-1]>data[i-1][j]?data[i][j-1]:data[i-1][j];
15 }
16
17 }
18 }
19 print(i,j);
20 }
21
//递归打印最大公共子序列
22
void
print(
int
i,
int
j){
23
if
(i==0||j==0)
24
return
;
25
if
(*(s1+i-1)==*(s2+j-1)){
26 print(i-1,j-1);
27
printf
(
"%c"
,*(s1+i-1));
28 }
else
if
(data[i][j-1]>data[i-1][j]){
29 print(i,j-1);
30 }
else
{
31 print(i-1,j);
32 }
33 }
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原文地址:http://www.cnblogs.com/wangccc/p/5310605.html