误差模型：过拟合，交叉验证,偏差-方差权衡

作者Natasha Latysheva;Charles Ravarani
发表于cambridgecoding

介绍

??在本文中也许你会掌握机器学习中最核心的概念:偏差-方差权衡.其主要想法是,你想创建尽可能预测准确并且仍能适用于新数据的模型(这是泛化).危险的是,你可以轻松的在你制定的数据中创建过度拟合本地噪音的模型,这样的模型是无用的,并且导致弱泛化能力,因为噪声是随机的,故而在每个数据集中是不同的.从本质上讲,你希望创建仅捕获数据集中有用成份的模型.另一方面,泛化能力很好但是对于产生良好预测过于僵化的模型是另一个极端(这称之为欠拟合).
??我们使用k-近邻算法讨论并展示这些概念，k-近邻带有一个简单的参数k,可以用不同的参数清楚的展示欠拟合，过拟合以及泛化能力的思想．同时，平衡欠拟合和过拟合之间的相关概念称为偏差－方差权衡．这里有一个表格概括了无论是过拟合或者欠拟合模型中一些不同但相同

??我们将解释这些术语的意思,以及他们如何关联的.同样也会讨论交叉验证,这是评估模型准确率和泛化能力的优秀指标.
??你会在未来的所有博文中遇到这些概念,将涵盖模型优化,随机森林,朴素贝叶斯,逻辑回归以及如何将不同模型组合成为集成元模型.

产生数据

??让我们从建立人工数据集开始.你可以轻松的使用sklearn.datasets中的make_classification()函数做到这一点.具体来说,你会生成相对简单的二元分类问题.为了让它更有趣一点,让我们的数据呈现月牙型并加入一些随机噪声.这应该能让其更真实并提高分类观测的难度.

“`

Creating the dataset

e.g. make_moons generates crescent-shaped data

Check out make_classification, which generates linearly-separable data

from sklearn.datasets import make_moons
X, y = make_moons(
n_samples=500, # the number of observations
random_state=1,
noise=0.3
)

Take a peek

print(X[:10,])
print(y[:10])

“`

[[ 0.50316464 0.11135559]
[ 1.06597837 -0.63035547]
[ 0.95663377 0.58199637]
[ 0.33961202 0.40713937]
[ 2.17952333 -0.08488181]
[ 2.00520942 0.7817976 ]
[ 0.12531776 -0.14925731]
[ 1.06990641 0.36447753]
[-0.76391099 -0.6136396 ]
[ 0.55678871 0.8810501 ]]
[1 1 0 0 1 1 1 0 0 0]

??你刚生成的数据集如下图所示:

“`
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import ListedColorma
%matplotlib inline # for the plots to appear inline in jupyter notebooks

Plot the first feature against the other, color by class

plt.scatter(X[y == 1, 0], X[y == 1, 1], color=”#EE3D34”, marker=”x”)
plt.scatter(X[y == 0, 0], X[y == 0, 1], color=”#4458A7”, marker=”o”)

“`

<\center>
??接下来,让我们将数据且分为训练集 和测试集 .训练集用于开发和优化模型.测试集完全分离,直到最后在此运行完成的模型.拥有测试集允许你在之前看不到的数据之外,模型运行良好的估计.

“`
from sklearn.cross_validation import train_test_split

Split into training and test sets

XTrain, XTest, yTrain, yTest = train_test_split(X, y, random_state=1, test_size=0.5)

“`

??使用K近邻(KNN)分类器预测数据集类别.Introduction to Statistical Learning第二章提供了关于KNN理论非常好介绍.我是ISLR书的脑残粉.你同样可以看看之前文章 how to implement the algorithm from scratch in Python.

介绍KNN中的超参数K

??KNN算法的工作原理是,对新数据点利用K近邻信息分配类别标签.只注重于和它最相似数据点的类,并分配这个新数据点到这些近邻中最常见的类.当使用KNN,你需要设定希望算法使用的K值.
??如果K很高(k=99),模型在对未知数据点类别做决策是会考虑大量近邻.这意味着模型是相当受限的,因为它分类实例时,考虑了大量信息.换句话说,一个大的k值导致相当”刚性”的模型行为.
??相反,如果k很低(k=1,或k=2),在做分类决策时只考虑少量近邻,这是非常灵活并且非常复杂的模型,它能完美拟合数据的精确形式.因此模型预测更依赖于数据的局部趋势(关键的是,包含噪声).
??让我们看一看k=99与k=1时KNN算法分类数据的情况.绿色的线是训练数据的决策边界(算法中的阈值决定一个数据点是否属于蓝或红类).

??在本文最后你会学会如何生成这些图像,但是先让我们先深入理论.
??当k=99(左),看起来模型拟合有点太平滑,对于有点接近的数据可以忍受.模型具有低灵活性 和低复杂度 .它描绘了一个笼统的决策边界.它具有比较高的偏差 ,因为对数据建模并不好,模型化数据的底层生成过程太过简单,并且偏离了事实.但是,如果你扔到另一个稍微不同的数据集,决策边界可能看起来非常相似.这是不会有非常大差异的稳定模型–它具有低方差.
??当k=1(右侧),你可以看到模型过度拟合噪声.从技术上来说,在训练集生成非常完美的预测结果(在右下角的错误等于0.0),但是希望你可以看到这样的拟合方式对于单独数据点过于敏感.牢记你在数据集中添加了噪声.看起来模型拟合对噪声太过重视并且拟合的非常紧密.你可以说,k=1的模型具有高灵活性 和高复杂度 ,因为它对数据调优非常紧密.同样具有低偏差,如果不出意外,决策边界肯定适合你观测数据的趋势.但是,在稍微改变的数据上,拟合的边界会大大改变,这将是非常显著的.K=1的模型具有高方差 .
??但是模型的泛化能力如何?在新数据上表现如何?
??目前你只能看到训练数据,但是量化训练误差没多大用处.对模型概括刚学习的训练集性能有多好,你不感兴趣.让我们看看在测试集表现如何,因为这会对模型好坏给你一个更直观的印象.试着使用不同的K值:

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
from sklearn import metrics 
knn99 = KNeighborsClassifier(n_neighbors = 99)
knn99.fit(XTrain, yTrain)
yPredK99 = knn99.predict(XTest)
print "Overall Error of k=99 Model:", 1 - round(metrics.accuracy_score(yTest, yPredK99), 2)
knn1 = KNeighborsClassifier(n_neighbors = 1)
knn1.fit(XTrain, yTrain)
yPredK1 = knn1.predict(XTest)
print "Overall Error of k=1 Model:", 1 - round(metrics.accuracy_score(yTest, yPredK1), 2)

Overall Error of k=99 Model: 0.15
Overall Error of k=1 Model: 0.15
??实际上,看起来这些模型对测试集表现的大约同样出色.下面是通过训练集学习到的决策边界应用于测试集.看能否找出两个模型错误的预测.

??两个模型出错有不同的原因.看起来k=99的模型对捕获月牙形数据特征方面表现不是很好(这是欠拟合),而k=1的模型是对噪声严重的过拟合.记住,过拟合的特点是良好的训练表现和糟糕的测试表现,你能在这里观察到这些.
??也许k在1到99的中间值是你想要的?

knn50 = KNeighborsClassifier(n_neighbors = 50)
knn50.fit(XTrain, yTrain)
yPredK50 = knn50.predict(XTest)
print "Overall Error of k=50 Model:", 1 - round(metrics.accuracy_score(yTest, yPredK50), 2)

Overall Error of k=50 Model: 0.11
??看起来好了点.让我们检查k=50时模型的决策边界.

??不错!模型拟合类似数据集的实际趋势,这种改善体现在较低的测试误差.

偏差-方差权衡:结论意见

??希望你现在对模型的欠拟合和过拟合有良好的理解.看现在是否理解本文开头的所有术语.基本上,发现过拟合和欠拟合之间正确的平衡关系相当于偏差-方差权衡.
??总的来说,当你对一个数据集训练机器学习算法,关注模型在一个独立数据模型的表现如何.对于训练集做好分类是不够的.本质上来讲,只关心构建可泛化的模型–对于训练集获得100%的准确率并不令人印象深刻,仅仅是过拟合的指标.过拟合是紧密拟合模型,并且调优噪声而不是信号的情况.
??更清楚的讲,你不是建模数据集中的趋势.而是尝试建模真实世界过程,引导我们研究数据.你恰好使用的具体数据集只是基础事实的一小部分实例,其中包含噪声和自身的特点.
??下列汇总图片展示在训练集和测试集上欠拟合(高偏差,低方差),正确拟合,以及过拟合(低偏差,高方差)模型如何表现:

??建立泛化模型这种想法背后的动机是切分数据集为为一个训练集和测试集(在你分析的最后提供模型性能的准确测量).
??但是,它也有可能过拟合测试数据.如果你对测试集尝试许多不同模型,并为了追求精度不断改变它们,然后测试集的信息可能不经意地渗入到模型创建阶段.你需要一个办法解决.

使用K折交叉验证评估模型性能

??输入K折交叉验证,这是仅使用训练集衡量模型性能的一个方便技术.该过程如下:你随机划分训练集为k等份;然后,我们在k-1/k的训练集上训练数据;对剩下的一部分评估性能.这给你一些模型性能的指标(如,整体精度).接下来训练在不同的k-1/k训练集训练算法,并在剩下的1部分评估.你重复这个过程k次,得到k个不同的模型性能度量,利用这些值的平均值得到整体性能的度量.继续例子,10折交叉验证背后如下:

??你可以使用k折交叉验证获得模型精度的评估,同样可以利用这些估计调整你的模型直到令你满意.这使得你不用最后测试数据,因此避免了过拟合的危险.换句话说,交叉验证提供一种方式模拟比你实际拥有更多的数据,因此你不用建模最后才使用测试集.k折交叉验证以及其变种是非常流行并且非常有用,尤其你尝试许多不同的模型(如果你想测试不同参数模型性能如何).

比较训练误差,交叉验证误差和测试误差

??那么,什么k是最佳的?对训练数据构建模形式尝试不同K值,看对训练集本身和测试集预测类别的结果模型如何.最后看K折交叉验证如何支出最好的K.
??注:实践中,当扫描这样的参数,使用训练集测试模型是以个糟糕的主意.相同的方式,你不能使用测试集多次浏览一个参数(每个参数值一次).接下来,你是用这些计算只是作为例子.实践中,只有K折交叉验证是一种安全的方法!

import numpy as np
from sklearn.cross_validation import train_test_split, cross_val_score

knn = KNeighborsClassifier()


# the range of number of neighbors you want to test

n_neighbors = np.arange(1, 141, 2)


# here you store the models for each dataset used

train_scores = list()
test_scores = list()
cv_scores = list()


# loop through possible n_neighbors and try them out

for n in n_neighbors:
knn.n_neighbors = n
knn.fit(XTrain, yTrain)
train_scores.append(1 - metrics.accuracy_score(yTrain, knn.predict(XTrain))) # this will over-estimate the accuracy
test_scores.append(1 - metrics.accuracy_score(yTest, knn.predict(XTest)))
cv_scores.append(1 - cross_val_score(knn, XTrain, yTrain, cv = 10).mean()) # you take the mean of the CV scores

??那么最优的k是多少?当多个同样的预测误差,你随便挑一个最小的作为k值.

# what do these different datasets think is the best value of k?

print(
‘The best values of k are: n‘
‘{} according to the Training Setn‘
‘{} according to the Test Set andn‘
‘{} according to Cross-Validation‘.format(
min(n_neighbors[train_scores == min(train_scores)]),
min(n_neighbors[test_scores == min(test_scores)]),
min(n_neighbors[cv_scores == min(cv_scores)])
)
)

最优K是:
1 according to the Training Set
23 according to the Test Set and
11 according to Cross-Validation

??不仅仅是收集最优的k,还需要对一系列测试的K看看预测误差.

# let‘s plot the error you get with different values of k

plt.figure(figsize=(10,7.5))
plt.plot(n_neighbors, train_scores, c="black", label="Training Set")
plt.plot(n_neighbors, test_scores, c="black", linestyle="--", label="Test Set")
plt.plot(n_neighbors, cv_scores, c="green", label="Cross-Validation")
plt.xlabel(‘Number of K Nearest Neighbors‘)
plt.ylabel(‘Classification Error‘)
plt.gca().invert_xaxis()
plt.legend(loc = "lower left")
plt.show()

??让我们谈谈训练集的分类错误.你考虑少量近邻,训练集会得到低的预测误差.这是有道理的,因为在做新的分类是,逼近每个点只考虑它本身的情况.测试误差遵循类似的轨迹,但是在某个点后由于过拟合而增长.这种现象表明,构建的训练集模型拟合在指定测试集样本上建模效果不好.
??在该图中可以看到,尤其是对于k的低值，采用k折交叉验证突出参数空间的区域（即k的非常低的值），这是非常容易出现过拟合的。尽管交叉验证和测试集的评估导致一些不同的最优解，它们都是相当不错的，并且大致正确。你也可以看到，交叉验证是测试误差的合理估计。这种类型的情节是好的，以获得确定参数如何影响模型表现的良好感觉，并帮助建立数据集的直觉来学习。

代码展示

??这是生成以上所有图片,训练测试不同kNN算法的代码.代码是scikit-learn样例改编的代码,主要处理决策边界的计算并让图片好看.
包含机器学习中拆分数据集，算法拟合以及测试的部分。

def detect_plot_dimension(X, h=0.02, b=0.05):
x_min, x_max = X[:, 0].min() - b, X[:, 0].max() + b
y_min, y_max = X[:, 1].min() - b, X[:, 1].max() + b
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))
dimension = xx, yy
return dimension

def detect_decision_boundary(dimension, model):
xx, yy = dimension # unpack the dimensions
boundary = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
boundary = boundary.reshape(xx.shape) # Put the result into a color plot
return boundary

def plot_decision_boundary(panel, dimension, boundary, colors=[‘#DADDED‘, ‘#FBD8D8‘]):
xx, yy = dimension # unpack the dimensions
panel.contourf(xx, yy, boundary, cmap=ListedColormap(colors), alpha=1)
panel.contour(xx, yy, boundary, colors="g", alpha=1, linewidths=0.5) # the decision boundary in green

def plot_dataset(panel, X, y, colors=["#EE3D34", "#4458A7"], markers=["x", "o"]):
panel.scatter(X[y == 1, 0], X[y == 1, 1], color=colors[0], marker=markers[0])
panel.scatter(X[y == 0, 0], X[y == 0, 1], color=colors[1], marker=markers[1])

def calculate_prediction_error(model, X, y):
yPred = model.predict(X)
score = 1 - round(metrics.accuracy_score(y, yPred), 2)
return score

def plot_prediction_error(panel, dimension, score, b=.3):
xx, yy = dimension # unpack the dimensions
panel.text(xx.max() - b, yy.min() + b, (‘%.2f‘ % score).lstrip(‘0‘), size=15, horizontalalignment=‘right‘)

def explore_fitting_boundaries(model, n_neighbors, datasets, width):

# determine the height of the plot given the aspect ration of each panel should be equal

height = float(width)/len(n_neighbors) * len(datasets.keys())

nrows = len(datasets.keys())
ncols = len(n_neighbors)


# set up the plot

figure, axes = plt.subplots(
nrows,
ncols,
figsize=(width, height),
sharex=True,
sharey=True
)

dimension = detect_plot_dimension(X, h=0.02) # the dimension each subplot based on the data


# Plotting the dataset and decision boundaries

i = 0
for n in n_neighbors:
model.n_neighbors = n
model.fit(datasets["Training Set"][0], datasets["Training Set"][1])
boundary = detect_decision_boundary(dimension, model)
j = 0
for d in datasets.keys():
try:
panel = axes[j, i]
except (TypeError, IndexError):
if (nrows * ncols) == 1:
panel = axes
elif nrows == 1: # if you only have one dataset
panel = axes[i]
elif ncols == 1: # if you only try one number of neighbors
panel = axes[j]
plot_decision_boundary(panel, dimension, boundary) # plot the decision boundary
plot_dataset(panel, X=datasets[d][0], y=datasets[d][1]) # plot the observations
score = calculate_prediction_error(model, X=datasets[d][0], y=datasets[d][1])
plot_prediction_error(panel, dimension, score, b=0.2) # plot the score


# make compacted layout

panel.set_frame_on(False)
panel.set_xticks([])
panel.set_yticks([])


# format the axis labels

if i == 0:
panel.set_ylabel(d)
if j == 0:
panel.set_title(‘k={}‘.format(n))
j += 1
i += 1

plt.subplots_adjust(hspace=0, wspace=0) # make compacted layout

??然后,你可以这样运行代码:

# specify the model and settings

model = KNeighborsClassifier()
n_neighbors = [200, 99, 50, 23, 11, 1]
datasets = {
"Training Set": [XTrain, yTrain],
"Test Set": [XTest, yTest]
}
width = 20


# explore_fitting_boundaries(model, n_neighbors, datasets, width)

explore_fitting_boundaries(model=model, n_neighbors=n_neighbors, datasets=datasets, width=width)

结论

??偏差-方差权衡出现在机器学习的不同领域.所有算法都可以认为具有一定弹性,而且不仅仅是KNN.发现描述良好数据模式并且可以泛化新数据,这样灵活的最佳点的目标适用于基本上所有算法.