Generative learning algorithm

本讲大纲：

1.生成学习算法（Generative learning algorithm）
2.高斯判别分析（GDA，Gaussian Discriminant Analysis）
3.朴素贝叶斯（Naive Bayes）
4.拉普拉斯平滑（Laplace smoothing）

1.生成学习算法

判别学习算法（discriminative learning algorithm）:直接学习p(y|x)（比如说logistic回归）或者说是从输入直接映射到{0,1}.

生成学习算法（generative learning algorithm）:对p(x|y)（和p(y)）进行建模.

简单的来说，判别学习算法的模型是通过一条分隔线把两种类别区分开，而生成学习算法是对两种可能的结果分别进行建模，然后分别和输入进行比对，计算出相应的概率。

比如说良性肿瘤和恶性肿瘤的问题，对良性肿瘤建立model1（y=0），对恶性肿瘤建立model2（y=1），p(x|y=0)表示是良性肿瘤的概率,p(x|y=1)表示是恶性肿瘤的概率.

根据贝叶斯公式（Bayes rule）推导出y在给定x的概率为：

2.高斯判别分析

GDA是我们要学习的第一个生成学习算法.

GDA的两个假设：

• 假设输入特征x∈Rn，并且是连续值;
• p(x|y)是多维正态分布（multivariate normal distribution）;

2.1 多维正态分布
若x服从多维正态分布（也叫多维高斯分布），均值向量（mean vector），协方差矩阵（convariance matrix），写成x~, 其密度函数为：

表示行列式（determinant）.

均值：
协方差Cov(Z)== = ∑

高斯分布的一些例子：

左图均值为零（2*1的零向量），协方差矩阵为单位矩阵I（2*2）（成为标准正态分布）.
中图协方差矩阵为0.6I，
右图协方差矩阵为2I

均值为0，方差分别为：

2.2 高斯判别分析模型

写出概率分布：

模型的参数为φ，μ0，μ1，∑，对数似然性为：

求出最大似然估计为：

结果如图所示：

1.3 讨论GDA和logistic回归
GDA模型和logistic回归有一个很有意思的关系.
如果把看做是x的函数，则有：

其中是的函数，这正是logistic回归的形式.

关于模型的选择：
刚才说到如果p(x|y)是一个多维的高斯分布，那么p(y|x)必然能推出一个logistic函数；反之则不正确，p(y|x)是一个logistic函数并不能推出p(x|y)服从高斯分布.这说明GDA比logistic回归做了更强的模型假设.

• 如果p(x|y)真的服从或者趋近于服从高斯分布，则GDA比logistic回归效率高.
• 当训练样本很大时，严格意义上来说并没有比GDA更好的算法（不管预测的多么精确）.
• 事实证明即使样本数量很小，GDA相对logisic都是一个更好的算法.

但是，logistic回归做了更弱的假设，相对于不正确的模型假设，具有更好的鲁棒性（robust）.许多不同的假设能够推出logistic函数的形式. 比如说，如果那么p(y|x)是logistic. logstic回归在这种类型的Poisson数据中性能很好. 但是如果我们使用GDA模型，把高斯分布应用于并不是高斯数据中，结果是不好预测的，GDA就不是很好了.

3.朴素贝叶斯

在GDA模型中，特征向量x是连续的实数向量.如果x是离散值，我们需要另一种学习算法了.

例子:垃圾邮件分类问题
首先是把一封邮件作为输入特征，与已有的词典进行比对，如果出现了该词，则把向量的xi=1,否则xi=0,例如：

我们要对p(x|y)建模，但是假设我们的词典有50000个词，那么，如果采用多项式建模的方式，会有，明显参数太多了，这个方法是行不通的.

为了对p(x|y)建模，我们做一个很强的假设，假设给定y，xi是条件独立(conditionally independent)的.这个假设成为朴素贝叶斯假设（Naive Bayes assumption).

因此有：

虽然说朴素贝叶斯假设是很强的，但是其实这儿算法在很多问题都工作的很好.

模型参数包括：

联合似然性（joint likelihood）为：

得到最大似然估计值：

很容易计算：

朴素贝叶斯的问题：
假设在一封邮件中出现了一个以前邮件从来没有出现的词，在词典的位置是35000，那么得出的最大似然估计为：

也即使说，在训练样本的垃圾邮件和非垃圾邮件中都没有见过的词，模型认为这个词在任何一封邮件出现的概率为0.
假设说这封邮件是垃圾邮件的概率比较高，那么

模型失灵.

在统计上来说，在你有限的训练集中没有见过就认为概率是0是不科学的.

4.laplace平滑

为了避免朴素贝叶斯的上述问题，我们用laplace平滑来优化这个问题.

回到朴素贝叶斯问题，通过laplace平滑：

分子加1，分母加1就把分母为零的问题解决了.