C中的Float分析

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C/C++中， 浮点数，float以及 double 在内存中是怎样存储的？

假如，我有32-bit
8bit 8bit 8bit 0 0 0 0 0 1 1 1 1

对于整形int，我们可以很快得出，这是 int i = 15的内存形式。
假设，最低位的bit的位权为-1，最高位为30。 那么这个就不再表示数字15了，而是
2^-1+2^0+2^1+2^2 = 7.5 了。

当然，上面只是假设，那么真正的Float 浮点型 在内存中是什么样子的呢？

首先需要知道的是 float 在内存中 占 32-bit double型 占 64-bit。

浮点型 在内存中，有3部分构成。

Sign bit
Exponent (指数）
Mantissa(尾数，有效数字)

sign bit

是指浮点数在内存中的 最高位，0 表示 正数，1 表示负数。Sing bit 在浮点数float，32-bit内存中，占 1-bit 。

Exponent

指数，比如 10^5，2^6，这两个数的 5，6既是exponent。当然，数字在内存中都是以2进制体现的，所以这里的指数，是指以2为底 的指数。比如

0 0 0 0 0 1 1 0

很容易可以知道 Exponent为 6，在表示浮点数的内存中，表示的是 2^6 = 64。
Expoent 在 Float 32-bit的内存中，占8-bit，在这里把此8-bit视为表示unsigned int 的bit pattern。那么可以表示的范围是0~256的整数(指数范围)， 但是指数既可以为正整数，也可以为负整数，这样以来无法表示-1，-2....这样的负整数了，所以 IEEE Standard 754 Floating-Point 对此引入了Bias， 偏移量的概念，对于Float型，此偏移量为127. 也就是说 127 这个数字已经被存储到 Exponent这个部分中了，像之前的那个例子，

0 0 0 0 0 1 1 0

表示的是指数6，但是在float内存结构中，其实表示的是 (6-127)= -121。需要减去已存入的偏移量 127。
假如 2^(1),指数1在float 的内存结构中的 bit pattern是什么样子的？
那会不会就是简单的

0 0 0 0 0 0 0 1

应该是 exponent - 127 = 1;(2^(1)中的指数1是这样得来的)
exponent = 127+1 = 128.(2^(1)中的指数1，在float内存结构中应该是128的bit pattern才对）

1 0 0 0 0 0 0 0

这只是个例子，帮助理解exponent，不会真的问这样的问题。。。。

Double型，需要占用64-bit 内存空间。同样，也是由 Sign bit，Exponent,Mantissa 3部分构成，不过 Exponent部分，在整个64-bit中 要占到 11-bit。此外偏移量 为1023。

Mantissa

Mantissa 尾数部分，在float的32-bit的内存空间中，占到23-bit注意之前说的exponent 指数，最低位是从0开始的，那么Mantissa，尾数的最高位当然是 -1了。

0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

那么大家说下，上面的尾数部分在 float 浮点数的内存中，表示多少？ 很快可以得到是
2^(-2)+2^(-3) = 0.375。 有错了，应该是1.375。
大家回想下小学学的 科学记数法，5 = 5.0*10^0 , 0.75 = 7.5*10^(-1)。对吧？
在Float的内存表示中，这23-bit的尾数 仅仅表示 科学记数法 中 非零实数小数点后的精度。 换句话说，Mantissa 包括两部分，一个是leading bit（科学记数法的非零实数）,另一个是fraction bits（即精度），此23-bit仅仅表示的是 fraction bits。而在二进制中，非零实数自然是1了，所以leading bit默认是1了。所以上述表格实际上是表示

引用
1 + 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

这也就是为什么，在float的内存中，尾数部分可以用23-bit pattern 来表示出24-bit的不同数字了。

在Double型的 64-bit 内存结构中，尾数部分要占到52-bit。

我们用个表格来表示 在内存中，float是怎样存储的。

+/-Sign Exponent 指数 Fraction bit -> .f
s <---------------- 8 ----------------> <-------------------------------------- 23----------------------------->
Unsigned int 2^(-1)， 2^(-2)， 2^(-3)............

上面这个表格所要 表示的是如下的浮点数
(-1)^s * 1.f * 2^(Exponent-127)

随手写了个32-bit pattern，

0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2^8 2^0 2^-23

假如告诉你，这是一个浮点型的内存结构，那么这个浮点数是多少呢？
这个浮点数可以很快的得到 (-1)^0*1.(2^-2+2^-3)*2^(2^1+2^2+2^4-127)。

以上是对Float double 型的内存结构的分析，前面http://chuansu.iteye.com/blog/1484742 提到了int short char之间的相互转化，那么Float Double与int的转化又会发生什么？

首先说一下原,反,补,移码. 移码其实就等于补码,只是符号相反. 对于正数而言,原,反,补码都一样, 对负数而言,反码除符号位外,在原码的基础上按位取反,补码则在反码的基础之上,在其最低位上加1,要求移码时,仍然是先求补码,再改符号.

浮点数分为float和double,分别占4,8个字节,即32,64位. 我仅以32位的float为例,并附带说double.

在IEEE754标准中,规定,float的32位这样分:

 这里应该注意三点:   A,阶码是用移码表示的,这里会有一个127的偏移量,它的127相当于0,小于127时为负,大于127时为正,比如:10000001表示指数为129-127=2,表示真值为2^2,而01111110则表示2^(-1).

                                     B, 尾数全都是小数点后面的数,

                                     C, 但尾数中省略了一个1,因此尾数全为0时,也是1.0...00;

接下来只要说明几个问题就明白了,以123.456为例,表示为二进制就是:N (2) = 1111011. 01110100101111001 ,这里,会右移6位,得到N (2) = 1.111011 01110100101111001*2^6; 这种形式就可以用于上图中的表示格式了.              

注意到,上面的阶码第一位为0表正,尾数比N(2)表示的第一位少了个1,这就是上面说的默认为第一位为1. 由于在将十进制转为二进制的过程中,常常不能正好转得相等, (当然,像4.0这样的就不会有损失,而1.0/3.0这样的必然损失),所以就产生了浮点数的精度问题, 实际上,小数点后的23位二进制数,能影响的十进制数的前8位,这是为什么呢?一般人在这时往往迷迷胡胡了,其实很简单,在上面表示的尾数中,是二进制 的,小数点后有23位,最后一位的值为1时,它就是1/2^22=0.000000238实际取的时候肯定是0.0000002,也就是说,对于一个 float型的浮点数,其有效的位数是从左到右数7位(包括缺省的1才是7位),当到达上面这个第8位时,就不可靠了,但我们的VC6可以输出最长的 1.0/3.0为0.33333333333333331,这主要是编译器的问题了, 而并不是说浮点数小数点后的16位都有效. 如果不信的话,可以去试一下double类型的1.0/3.0, 得到的也将是小数点后17 位.                                                                                                  ..另外,编译器或电路板一般都有"去噪声"的"修正"能力,它能够使得超过7位的十进制数即使无效了也不会变得离谱,这也是上面为什么一直都是输出 333而不是345之类的,. 可以这样试一下:

float f=123456789;  cout<<f<<endl;//这里肯定得到123456789.

这里有一个被人遗忘的问题,就是10进制小数怎么变为2进制小数,其实很简单,就是将10进的小数部分不断乘以2,进位时就将对应的2进制位写入1. 因此将上面的N (2) = 1.111011 01110100101111001*2^6;再转回十进制数时,很可能已经不再是123.456了. 好,精度问题应该说清楚了. 下面说示数范围.

阶码的示数位数是8位移码, 最大为127最小为-127,这里的127用来作为2的指数,因此为2^127,约等于 1.7014*10^38, 而我们知道,float的示数范围约为-3.4*10^38-------3.4*10^38, 这是因为尾数的24位(默认第一位为1)全为1是,非常接近2,  1.11..11很明显约为2,因此浮点数的范围就出来了.

double的情况与float完全相似,只是它的内在形式是

主要的区别在于它的阶码有11位了, 这就有2^1023约等于 0.8572*10^308, 尾数53位约为2,故double的示数范围约为 -1.7*10^308.------1.7*10^308.  至于其精度,同样,1.0/2^51=4.4*10^(-16).小数点后15位有效,加上缺省的那一位,因此对于double浮点数,从左到右的16位 数都是可靠的.

有时,我们会听到"定点小数"这个词,单片机(如手机等)一般只使用定点数,迷糊的时候,我们会以为 float  a=23.4; 这种是定点小数, float a=2.34E1这种为浮点数,其实这是错误的, 上面只是同一个浮点数的不同表示,都是浮点数. 定点小数是有这种提法,认为整就是定点小数,小数点定在个位后面,小数部分为0.也可认为纯小数是定点小数,但它只能表示小于1的纯小数.

然后再说一下C/C++中的几个函数, C++中默认输出小数点后的5位小数,但可以设置,有两种方法:调用setpression或者使用cout.pression,但效果是不同的:

 float mm=123.456789f;  cout<<mm<<endl;  //123.457           虽说默认为不数点后5位,但只是整数部分只有一位才这样.  setprecision(10);                               //设置小数点后的位数,但当整数部分有两位时,与默认情况没什么两样,不起作用.  cout<<mm<<endl;  //123.457  cout.precision(4);                              //设置总的位数.  cout<<mm<<endl;  //123.4     总之效果是比较怪的,个人认为虽然这样显得不够确定,但实为硬件系统所限.无可厚非.

对于0的实际表示,有人认为+0一般能绝对为0,而-0则可能表示一个极小的数.  为此,本人想到了一种很好的验证办法,证明了不管+0还是-0,它都是2^(-127),代码如下:

 float fDigital = 0.0f;         unsigned long nMem;// 临时变量，用于存储浮点数的内存数据  // 将内存按位复制到临时变中，以便取用,此时的nMem并不等于fDigital了,它是按位复制的。  nMem = *(unsigned long*)&fDigital;  cout<<nMem<<endl;  //一般得到一个很大的整数.

 bitset<32>mybit(nMem);//妙在此处,这里的输出就是32float的内存表示了.终于完全直观地看到了.  cout<<mybit<<endl;   //00000000000000000000000000000000 用-0.0来试,也是如此.

如果你还认为上面那一长串的0表示的是绝对的0,那么请重新看本文. 事实上,本人的这种做法是比较巧妙的,将上面的fDigital用任何其它浮点数表示,这个bitset数都可以反映出它的内存表示.

有移码表示阶码有是有原因的,主要是移码便于对阶操作,从而比较两个浮点数的大小. 这里要注意的是,阶码不能达到11111111的形式,IEEE规定,当编译器遇到阶码为0XFF时,即调用溢出指令.  总之,阶码化为整数时,范围是:-127~127.

最后,有一个往往高手也汗颜的地方,一定要记住,浮点数没有无符号型的usinged float/double是错误的.

本人才疏学浅,欢迎批评指正.

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