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更新:1 APR 2016
对于满足Dirichlet条件的函数\(f(t)\)在其连续点处定义
\(F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}dt\)
则\(f(t)\)可变换为
\(f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{\mathrm{i}\omega t}d \omega\)
此即Fourier变换,是一种函数空间中的一一映射,记作
\(F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)],\qquad f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]\)
1. 线性
\(\mathscr{F}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha \mathscr{F}[f_1(t)]+\beta \mathscr{F}[f_2(t)]\)
2. 微分性
(1) \(\mathscr{F}[f’(t)]=\mathrm{i}\omega\mathscr{F}[f(t)]\)
(2) \(\dfrac{d}{d\omega}\mathscr{F}[f(t)]=\mathscr{F}[-\mathrm{i}tf(t)]\)
3. 积分性
若当\(t \rightarrow +\infty\)时,\(g(t)=\int_{-\infty}^tf(a)da \rightarrow 0\),则
\(\mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^tf(a)da\right]=\dfrac{1}{\mathrm{i}\omega}\mathscr{F}[f(t)]\)
卷积为定义在函数空间上的二元运算。对于函数\(f_1(t)\),\(f_2(t)\),定义卷积运算\(*\)
\(f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau\)
卷积运算满足交换律、结合律、对加法的分配律。
若\(f_1(t)\),\(f_2(t)\)可以进行Fourier变换,则
\(\mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=\mathscr{F}[f_1(t)]\mathscr{F}[f_2(t)]\)
将卷积运算和乘法运算互换。
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原文地址:http://www.cnblogs.com/fnight/p/5344461.html