一起啃PRML - 1.2.2 Expectations and covariances 期望和协方差

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一起啃PRML - 1.2.2 Expectations and covariances 期望和协方差

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涉及到概率的一个重要的操作是寻找函数的加权平均值。在概率分布p(x)下,函数f(x)的平均值被称为f(x)的期望(expectation),记作E[f]。对于一个离散变量,它的定义为：

因此平均值根据x的不同值的相对概率加权。在连续变量的情形下,期望以对应的概率密度的积分的形式表示：

类似的，我们有“条件期望”。无非就是把边缘概率变成条件概率。

在连续变量的情况下，我们把求和改成积分就好了。

如果我们给定有限数量的N 个点,这些点满足某个概率分布或者概率密度函数,那么期望可以通过平均的方式估计：

可以看出，当点数足够多，即N趋向于无穷大的时候，估计变得精准。

f(x)的方差被定义为：

方差是干什么的呢，它度量了f(x)在均值E[f(x)]附近变化性的大小。

我们可以把期望大概看成一个不错的平均值吧。

如果我们把方差展开，则会得到一个关于f(x)和f(x)2的期望的式子

我不是很知道这一步是为什么，不管了。

当然了，我们不仅可以关心函数，更可以关心我们的自变量本身，于是有： 

有一个变量的方差，我们就有两个变量的方差，在这里我们称之为“协方差”，它是这么定义的：

看起来和方差长得一模一样。同理，我也不懂这是怎么展开的。

那么协方差是干什么用的呢？它表示在多大程度上x和y会共同变化。也就是说，如果x,y相互独立，x和y的协方差就是0。还记得篮子和苹果的例子吗？

有两个变量的协方差，我们就有向量的协方差，它是这么定义的：

可以看出，两个向量的协方差是个矩阵。每两个元素一一对应求协方差。

当这两个向量长得一样的时候，其实就是求自己和自己的协方差，我们有一个偷懒的记号：

那么这个表示一个向量内元素之间共同变化的程度。等以后配合上实例再谈这些应该会更好一些。

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