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增根和失根:解方程的逻辑问题

时间:2016-04-03 16:03:12      阅读:167      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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方程的应用,减少了解决算术问题的思维量。有了方程,就不必砍腿去解鸡兔同笼了。列个方程,或是方程组,通过对方程进行代数变换,就可以解出未知量。

不过对方程进行代数变换是要讲逻辑的,不能随便乱变。前几天在 Quora 上看到类似这样的一道题:

已知

\( x+\frac{1}{x}=2\sqrt{5} \)  (1)

\( {x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}} \) (2)

如果直接从方程 (1) 中解出 \(x\), 再代入 (2) 式,非常麻烦。但是如果对 (1) 式两边平方:

\( {x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+2=20 \) (3)

再两边同减 2, 不难得到

\( {x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=18 \) (4)

那么问题来了:这么搞合理吗?有没有漏解?有人发表了这个简单解法之后,立马就有人质疑,说这样不保险,容易失根或产生增根。比如 \( x=2 \) 这个显然有且只有一解(实数范围内)的方程,把它两边平方,反而得到 \( {x}^{2}=4 \), 有两个解。

为什么会这样?两个数相等,它们的平方也应该相等啊,这是毫无疑问的,怎么平白无故多出一个根来?

这是因为,把方程两边平方,不是等价变形。即 \( a=b \) 能推出 \( {a}^{2}={b}^{2} \), \( {a}^{2}={b}^{2} \) 却推不出 \( a=b \). 只有两个方程能相互推出时,它们才互为等价变形,才能说这两个方程本质上是一个方程,解是一样的。解方程的时候,一定要注意这一点。

所以,把 (1) 式两边平方,并不严谨。不过,这也并不意味着,我们就必须把 \(x\) 解出来。反过来令 \( t={x}^2+\frac{1}{{x}^{2}} \), 可得:

\( t+2={x}^2+\frac{1}{{x}^{2}}+2 \)

\( t+2={(x+\frac{1}{x})}^{2} \)

\( t+2=20 \)

\( t = 18 \)

这样在逻辑上就没有毛病了。

增根和失根:解方程的逻辑问题

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原文地址:http://www.cnblogs.com/li-hua/p/5349916.html

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