【HNOI模拟By YMD】move

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Description

设P(n)为从(0,0)移动到点(n,0)的不同路径数目，移动的方式有以下三种：(x,y)->(x+1,y-1)，(x,y)->(x+1,y)，(x+y)->(x+1,y+1)，并且路径不能和第四象限有交集。求P(n)，并对10^9+7取模。

Input

第一行一个整数T，表示数据组数。

对于每组数据，一行一个整数n。

Output

对于每组数据，输出答案。

Data Range

20%：n≤10；
50%：n≤10000；
100%：n≤106，T≤10。

Solution

20%　　

直接O(3^n*n)的暴力枚举即可。

50%

考虑第一次直线y=0的点，假设是(i,0)。

那么从(1,1)到(i-1,1)之间的路径均在直线y=1的上方，显然有P(i-2)种。同理，从(x,0)到(n,0)之间的路径均在直线y=0的上方，有P(n-i)种。

所以，全部合起来可以得到P(n)=Σⁿ_i=1 P(i-2)P(n-i)，其中，规定P(-1)=P(0)=1。

其实可以在20%基础上打个表，考场有超过5人这样写。。。

100%

假设移动的路径中一共有i个(x,y)->(x+1,y+1)，那么就一定会有i个(x,y)->(x+1,y-1)，n-2i个(x,y)->(x+1,y)。

而如果不考虑所有的(x,y)->(x+1,y)，那么路径的种数就是第i个Catalan数，设为C_i。如果加入(x,y)->(x+1,y)，也就是在2i+1个空处中插入n-2i相同的球，方案数是C²ⁱ_n。

所以，P(n)=Σⁿ_i=1 C_i C²ⁱn。

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long LL;

#define N 1000010

#define MOD 1000000007

int t;

int n;

LL f[N],d[N];

inline LL qpow(LL a,LL b)

{

LL ans=1;

while (b)

{

if (b&1)

ans=(1LL*ans*a)%MOD;

b>>=1;

a=(1LL*a*a)%MOD;

}

return ans;

}

inline LL C(LL x,LL y)

{

return f[x]*d[y]%MOD*d[x-y]%MOD;

}

inline LL Catalan(LL x)

{

return (C(x<<1,x)-C(x<<1,x-1)+MOD)%MOD;

}

int main()

{

freopen("move.in","r",stdin);freopen("move.out","w",stdout);

scanf("%d",&t);

f[0]=1;

for (int i=1;i<=1000000;i++)

f[i]=f[i-1]*i%MOD;

for (int i=0;i<=1000000;i++)

d[i]=qpow(f[i],MOD-2)%MOD;

while (t--)

{

scanf("%d",&n);

LL ans=0;

for (int i=0;i<=n;i+=2)

ans+=C(n,i)*Catalan(i>>1),ans%=MOD;

printf("%lld\n",ans);

}

return 0;

}

2.1 20%
†O(3n ∗ n)åqÞ=Œ"
2.2 50%
•Ä1˜g†‚y = 0:§b´(i,0)"
@ol(1,1)(i − 1,1)ƒm´»þ3†‚y = 1þ•§w,kP(i −
2)«"Ón§l(x,0)(n,0)ƒm´»þ3†‚y = 0þ•§kP(n −
i)«"
¤±§ÜÜå5Œ±P(n) = Pn i=1 P(i − 2)P(n − i)§Ù¥§5
½P(−1) = P(0) = 1"
2.3 100%
b£Ä´»¥˜
ki‡(x, y)− > (x + 1, y + 1)§@oÒ˜½¬
ki‡(x, y)− > (x + 1, y − 1)§n − 2i‡(x, y)− > (x + 1, y)"
XJؕĤk(x, y)− > (x + 1, y)§@o´»«êÒ´
1i‡Catalan꧕Ci"XJ\\(x, y)− > (x + 1, y)§•Ò´32i + 1‡
˜?¥\n − 2iƒÓ¥§•Yê´C2i
n "
¤±§P(n) = Pn i=1 CiCn 2i"

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原文地址：http://www.cnblogs.com/yangjiyuan/p/5350633.html