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背包问题是动态规划中的经典问题，而01背包问题是最基本的背包问题，也是最需要深刻理解的，否则何谈复杂的背包问题。
POJ3624是一道纯粹的01背包问题，在此，加入新的要求：输出放入物品的方案。
我们的数组基于这样一种假设：
totalN表示物品的种类，totalW表示背包的容量
w[i]表示第i件物品的重量，d[i]表示第i件物品的价值。
F(i,j)表示前i件物品放入容量为j的背包中，背包内物品的最大价值。
F(i,j) = max{ F(i-1,j) , F(i-1,j-w[i])+d[i] }
我们仅考虑第i件物品到底放不放进背包
第一项表示不放入背包的情况。
第二项表示放入背包的情况。
然后，我们为了获得具体的方案，每当在局部最优的方案成立时，则将path[i][j]置为1，当求的最优结果后，从最终结果开始回溯，看看在第i轮的局部最优中是否放入物品i。
此时的代码如下所示：
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <string> #include <iostream> using namespace std; #define max(a,b) a>b?a:b; //数组要设的比给的范围稍大一些 int dp[3410][12900]; int path[3410][12900]; int w[3410]; int d[3410]; int totalN; int totalW; int main() { int i,j; scanf("%d",&totalN); scanf("%d",&totalW); for(i=1;i<=totalN;i++) { scanf("%d",&w[i]); scanf("%d",&d[i]); } memset(dp,0,sizeof(dp)); for(i=1;i<=totalN;i++){ for(j=1;j<=totalW;j++){ /*必不可少,需要根据上一轮状态， 而如果直接从j=w[i]开始，会使0<j<w[i]都为0，影响正确的结果。 在之后优化的1维矩阵方法中，就不会存在这种问题， 由于其逆序遍历，上一轮的结果只要不覆盖，就一直存在*/ dp[i][j] = dp[i-1][j]; if(j>=w[i] && dp[i][j]<dp[i-1][j-w[i]]+d[i]){ dp[i][j] =dp[i-1][j-w[i]]+d[i]; path[i][j] = 1; } } } printf("背包内物品的最大价值是:\n"); printf("%d\n",dp[totalN][totalW]); i = totalN; j = totalW; printf("放入背包的物品是:\n"); while(i>0 && j>0) { if(path[i][j] == 1) { printf("%d\n",d[i]); j = j - w[i]; } i = i - 1; } system("pause"); return 0; }
此时的时间复杂度是O(NW)，已经无法优化，但空间复杂度可以由O(NW)下降到O(W).。
我们可以看到F(i,j)仅仅依赖于F(i-1,j)和F(i-1,j-w[i])+d[i]，也就是说，我们需要依赖的上一轮的序列中的元素的坐标没有在J的右边的，此时我们就可以使用逆序遍历即可，直接应用上一轮的数据。
这样的逆序遍历还有一层意义，即每个物品只放入一次，因为所以来的两项都是没有放入过第i件物品的情况，从不依赖放入第i件物品的情况。这点需要好好的理解一下，有助于后续对完全背包问题的理解。
上代码：
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <string> #include <iostream> using namespace std; //数组要设的比给的范围稍大一些 int bag[12900]; int path[3410][12900]; int w[3410]; int d[3410]; int totalN; int totalW; int main() { int i,j; scanf("%d",&totalN); scanf("%d",&totalW); for(i=1;i<=totalN;i++) { scanf("%d",&w[i]); scanf("%d",&d[i]); } memset(bag,0,sizeof(bag)); for(i=1;i<=totalN;i++){ for(j=totalW;j>=w[i];j--){ if(bag[j]<bag[j-w[i]]+d[i]){ bag[j] = bag[j-w[i]]+d[i]; path[i][j]=1; } } } printf("背包内物品的最大价值是:\n"); printf("%d\n",bag[totalW]); i = totalN; j = totalW; printf("放入背包的物品是:"); while(i>0 && j>0) { if(path[i][j] == 1) { printf("%d\n",d[i]); j = j - w[i]; } i = i - 1; } system("pause"); return 0; }
最后如果想去AC的话，要采用第二种方案，降低空间复杂度，AC代码(折叠)：
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <string> #include <iostream> using namespace std; //数组要设的比给的范围稍大一些 int bag[12900]; int w[3410]; int d[3410]; int totalN; int totalW; int main() { int i,j; scanf("%d",&totalN); scanf("%d",&totalW); for(i=1;i<=totalN;i++) { scanf("%d",&w[i]); scanf("%d",&d[i]); } memset(bag,0,sizeof(bag)); for(i=1;i<=totalN;i++){ for(j=totalW;j>=w[i];j--){ if(bag[j]<bag[j-w[i]]+d[i]){ bag[j] = bag[j-w[i]]+d[i]; } } } printf("%d\n",bag[totalW]); system("pause"); return 0; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/yueyanglou/p/5353124.html
