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这种质数算法是基于费马小定理的一个扩展。
费马小定理：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。 将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)
也即是说：假设我们要测试n是否为质数。我们可以随机选取一个数a，然后计算a^(n-1) mod n，如果结果不为1，我们可以100%断定n不是质数。
否则我们再随机选取一个新的数a进行测试。如此反复多次，如果每次结果都是1，我们就假定n是质数。
该测试被称为Fermat测试。需要注意的是：Fermat测试不一定是准确的，有可能出现把合数误判为质数的情况。
Miller和Rabin在Fermat测试上，建立了Miller-Rabin质数测试算法。
与Fermat测试相比，增加了一个二次探测定理：
如果 p 是奇素数，则 x^2 ≡ 1(mod)p 的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p-1(mod p)
伪代码：
Miller-Rabin(n): If (n <= 2) Then If (n == 2) Then Return True End If Return False End If If (n mod 2 == 0) Then // n为非2的偶数，直接返回合数 Return False End If // 我们先找到的最小的a^u，再逐步扩大到a^(n-1) u = n - 1; // u表示指数 while (u % 2 == 0) u = u / 2 End While // 提取因子2 For i = 1 .. S // S为设定的测试次数 a = rand_Number(2, n - 1) // 随机获取一个2~n-1的数a x = a^u % n While (u < n) // 依次次检查每一个相邻的 a^u, a^2u, a^4u, ... a^(2^k*u)是否满足二次探测定理 y = x^2 % n If (y == 1 and x != 1 and x != n - 1) // 二次探测定理 // 若y = x^2 ≡ 1(mod n) // 但是 x != 1 且 x != n-1 Return False End If x = y u = u * 2 End While If (x != 1) Then // Fermat测试 Return False End If End For Return True
写成 C++ 代码：
// 快速判断是否为质数 #include <iostream> #include <time.h> #include <algorithm> #define SS 100 #define ll long long using namespace std; ll mod_mul(ll a, ll b, ll n){ ll res = 0; while (b){ if(b & 1) res = (res + a) % n; a = (a + a) % n; b >>= 1; } return res; } // 快速幂 (a^b)%n ll mod_exp(ll a, ll b, ll n){ ll res = 1; while(b){ if(b & 1) res = mod_mul(res, a, n); a = mod_mul(a, a, n); b >>= 1; } return res; } bool MillerRabin(ll x){ if(x == 2) return true; if(x % 2 == 0 || x < 2) return false; ll u = x-1; while(u%2 == 0) u = u/2; for(int i = 1; i <= SS; i++){ srand((unsigned)time(NULL)); ll a = (rand()%(x - 2)) + 2; ll xx = mod_exp(a, u, x); while(u< x){ ll yy = mod_exp(xx, 2, x); if(yy == 1 && xx != 1 && xx != x-1) return false; xx = yy,u = u*2; } if(xx!=1) return false; } return true; } int main(){ int n; cin>>n; while(n--){ ll number; cin >> number; cout << (MillerRabin(number)?"Yes":"No") << endl; } return 0; }
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