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更新：11 APR 2016
借鉴常微分方程的思路，先对偏微分方程求通解，再通过边界条件等确定其中的任意函数与系数。然而这种思路只对少数偏微分方程可行。
\(\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}\)
进行变量代换，
\(\xi =x+at\)
\(\eta = x-at\)
计算两级偏导数，代入方程得到
\(\dfrac{\partial^2u}{\partial \xi \partial\eta}=0\)
积分得到含有两个任意函数的结果
\(u(\xi,\eta)=f_1(\xi)+f_2(\eta)\)
即
\(u(x,y)=f_1(x+at)+f_2(x-at)\)
此即一维波动方程的通解。
对于一般的初始条件，
\(u|_{t=0}=\varphi(x),\quad –\infty<x<+\infty\)
\(\left.\dfrac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(x),\quad –\infty<x<+\infty\)
可以解得
\(u(x,t)=\dfrac{1}{2}[\varphi(x+at)+\varphi(x-at)]+\dfrac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\zeta)d\zeta\)
此即无限长弦自由振动（齐次）的d‘Alembert公式。
注意方向相反的行波可能合成驻波：
（图片来源：Wikipedia.org）
【依赖区间】点(x,t)的函数值u(x,t)由x轴上的区间\([x-at,x+at]\)内的初始条件决定，此区间即此点的依赖区间。
【决定区域】x轴上的区间\([x_1,x_2]\)决定在x-t平面内x轴、直线\(x=x_1+at\)、直线\(x=x_2-at\)围成的三角形区域内所有的点(x,t)的值u(x,t)，此区域即此区间的决定区域。
【影响区域】x轴上的区间\([x_1,x_2]\)影响在x-t平面内x轴、直线\(x=x_1-at\)、直线\(x=x_2+at\)围成的区域内所有的点(x,t)的值u(x,t)，此区域即此区间的影响区域。
三维波动方程
\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\nabla^2 u\)
对应一般化的初始条件
\(u|_{t=0}=\varphi(\textbf{r})\)
\(\left.\dfrac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}=\psi(\textbf{r}),\quad –\infty<x<+\infty\)
若体系球对称，即u与\(\theta, \varphi\)无关。此时解为
\(u(r,t)=\dfrac{f_1(r+at)+f_2(r-at)}{r}\)
一般的情况，
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原文地址：http://www.cnblogs.com/fnight/p/5377008.html
