【bzoj2242】[SDOI2011]计算器 数论相关（快速幂＋扩展欧几里得＋BSGS）

2242: [SDOI2011]计算器
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Description
你被要求设计一个计算器完成以下三项任务：
1、给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值；
2、给定y,z,p，计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数；
3、给定y,z,p，计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数。
Input

输入包含多组数据。
第一行包含两个正整数T,K分别表示数据组数和询问类型（对于一个测试点内的所有数据，询问类型相同）。
以下行每行包含三个正整数y,z,p，描述一个询问。
Output
对于每个询问，输出一行答案。对于询问类型2和3，如果不存在满足条件的，则输出“Orz, I cannot find x!”，注意逗号与“I”之间有一个空格。

题目链接：

题意：中文题。。。
１．快速幂

while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&p);
        long long ans=1;
        while(bb>0)
        {
            if(bb&1) ans=ans*aa%p;
            aa=aa*aa%p;
            bb>>=1;
        }
        printf("%lld\n",ans);

    }

２．扩展欧几里德解线性同余方程 ax=b(mod n)

while(T--)
    {
        long long x,y;
        long long d;
        scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&p);
        ex_gcd(aa,p,d,x,y);
        if(bb%d!=0)
        {
            printf("Orz, I cannot find x!\n");
            continue;
        }
            x=x*(bb/d)%p;
                x=(x%(p/d)+p/d)%(p/d);
        printf("%lld\n",x);
    }

３．高次同余方程a^x=b(mod n),Baby Step Giant Step算法::

while(T--)
    {
        flag=0;
        long long x,y;
        long long d;
        scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&p);

        aa%=p;
        if(!aa&&!bb)    
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        if(!aa)
        {
            printf("Orz, I cannot find x!\n");
            continue;
        }
        mp.clear();
        long long m=ceil(sqrt(p)),t=1;
        mp[1]=m+1;
        for(long long i=1;i<m;i++) 
        {
            t=t*aa%p;
            //cout<<t<<"      "<<i<<endl;
            if(!mp[t]) mp[t]=i;
            //cout<<"   "<<mp[1]<<endl;
        }
        //cout<<"SB"<<endl;
        long long tmp=cheng(aa,p-m-1,p),ine=1;
        //cout<<" "<<tmp<<endl;
        //cout<<"SB"<<endl;
        for(long long k=0;k<m;k++)
        {
            //cout<<bb<<"   "<<ine<<endl;
            int i=mp[bb*ine%p];
            //cout<<k<<"   "<<i<<endl;
            if(i)
            {   
                flag=1;     
                if(i==m+1) i=0;
                printf("%lld\n",k*m+i);
                break;
            }
            ine=ine*tmp%p;
        }
        if(!flag)
        printf("Orz, I cannot find x!\n");
    }       
}

思路：
———–三个模版…………..
说一下a^x=b(mod n)的Baby Step Giant Step算法（一点分块的思想）

ｍ取ｓｑｒｔ（ｐ）；
求y^x=z(mod p)设x=km+i
y^km?y^i≡z
yi≡z?ine(y^km)(逆元)
用费马小定理
｛
ｙ^(p-1)mod p=1;
y^m * y^(p-m-1) mod p =1;
y^m的逆元为y^(p-m-1)
｝
ine(y^m)≡y^(p?1?m)
设其为T
ine(y^km)≡ine(y^(k?1)m)?T
把y^i(0<=i<=m)放入map;
然后枚举k，查询
z?ine(y^km)

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<string.h>
#include<map>
using namespace std;
int T,k;
int flag=0;
long long  aa,bb,p;
map<int,int> mp;
void solve1()
{
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&p);
        long long ans=1;
        while(bb>0)
        {
            if(bb&1) ans=ans*aa%p;
            aa=aa*aa%p;
            bb>>=1;
        }
        printf("%lld\n",ans);

    }

}
void ex_gcd(long long a,long long b,long long &d,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        d=a;        
        return ;
    }
    ex_gcd(b,a%b,d,x,y);
    long long  x0=x;
    x=y;
    y=x0-(a/b)*y;

}
void solve2()
{
    while(T--)
    {
        long long x,y;
        long long d;
        scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&p);
        ex_gcd(aa,p,d,x,y);
        if(bb%d!=0)
        {
            printf("Orz, I cannot find x!\n");
            continue;
        }
            x=x*(bb/d)%p;
                x=(x%(p/d)+p/d)%(p/d);
        printf("%lld\n",x);
    }

}
long long cheng(long long a,long long b,long long p)
{
    long long ans=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void solve3()
{
    while(T--)
    {
        flag=0;
        long long x,y;
        long long d;
        scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&p);

        aa%=p;
        if(!aa&&!bb)    
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        if(!aa)
        {
            printf("Orz, I cannot find x!\n");
            continue;
        }
        mp.clear();
        long long m=ceil(sqrt(p)),t=1;
        mp[1]=m+1;
        for(long long i=1;i<m;i++) 
        {
            t=t*aa%p;
            //cout<<t<<"      "<<i<<endl;
            if(!mp[t]) mp[t]=i;
            //cout<<"   "<<mp[1]<<endl;
        }
        //cout<<"SB"<<endl;
        long long tmp=cheng(aa,p-m-1,p),ine=1;
        //cout<<" "<<tmp<<endl;
        //cout<<"SB"<<endl;
        for(long long k=0;k<m;k++)
        {
            //cout<<bb<<"   "<<ine<<endl;
            int i=mp[bb*ine%p];
            //cout<<k<<"   "<<i<<endl;
            if(i)
            {   
                flag=1;     
                if(i==m+1) i=0;
                printf("%lld\n",k*m+i);
                break;
            }
            ine=ine*tmp%p;
        }
        if(!flag)
        printf("Orz, I cannot find x!\n");
    }       
}
int main()
{

    scanf("%d%d",&T,&k);
    if(k==1) solve1();
    if(k==2) solve2();
    if(k==3) solve3();
}